矩阵分解在推荐系统中的地位非常崇高，恐怕本专栏介绍的其他算法模型都不能轻易地撼动它。

它既有协同过滤的血统，又有机器学习的基因，可以说是非常优秀了；但即便如此，传统的矩阵分解无论是在处理显式反馈，还是处理隐式反馈都让人颇有微词，这一点是为什么呢？

矩阵分解的不足

前面我讲过的两种矩阵分解，本质上都是在预测用户对一个物品的偏好程度，哪怕不是预测评分，只是预测隐式反馈，也难逃这个事实，因为算法展现出来的目标函数就出卖了这一切。

得到这样的矩阵分解结果后，常常在实际使用时，又是用这个预测结果来排序。所以，从业者们口口声声宣称想要模型的预测误差最小化，结果绕了一大圈最后还是只想要一个好点的排序，让人不禁感叹：人心总是难测。

这种针对单个用户对单个物品的偏好程度进行预测，得到结果后再排序的问题，在排序学习中的行话叫做 point-wise，其中 point 意思就是：只单独考虑每个物品，每个物品像是空间中孤立的点一样。

与之相对的，还有直接预测物品两两之间相对顺序的问题，就叫做 pair-wise，pair，顾名思义就是成对成双，也许恐怕这类模型对单身的人士不是很友好。

前面讲的矩阵分解都属于 point-wise 模型。这类模型的尴尬是：只能收集到正样本，没有负样本，于是认为缺失值就是负样本，再以预测误差为评判标准去使劲逼近这些样本。逼近正样本没问题，但是同时逼近的负样本只是缺失值而已，还不知道真正呈现在用户面前，到底是不喜欢还是喜欢呢？

虽然这些模型采取了一些措施来规避这个问题，比如负样本采样，但是尴尬还是存在的，为了排序而绕路也是事实。

既然如此，能不能直面问题，采用 pair-wise 来看待矩阵分解呢？当然能，不然我也不会写出这一篇专栏文章了。

其实人在面对选择时，总是倾向矮子中选高个子，而不是真的在意身高到底是不是 180，因此，更直接的推荐模型应该是：能够较好地为用户排列出更好的物品相对顺序，而非更精确的评分。

这个问题已经有可爱的从业者们提出了方法，就是本文的主角：贝叶斯个性化排序，简称 BPR 模型。下面，我就带你一探这个模型的究竟。

贝叶斯个性化排序

在前面的专栏文章中，有一个词叫做均方根误差，被我提过多次，用于评价模型预测精准程度的。那么现在要关注的是相对排序，用什么指标比较好呢？答案是 AUC，AUC 全称是 Area Under Curve，意思是曲线下的面积，这里的曲线就是 ROC 曲线。

AUC

但是，我不打算继续解释什么是 ROC 曲线了，那是它的原始定义，而我想跟你悄悄说的是另一件事，AUC 这个值在数学上等价于：模型把关心的那一类样本排在其他样本前面的概率。最大是 1，完美结果，而 0.5 就是随机排列，0 就是完美地全部排错。

听到这个等价的 AUC 解释，你是不是眼前一亮？这个非常适合用来评价模型的排序效果，比如说，得到一个推荐模型后，按照它计算的分数，能不能把用户真正想消费的物品排在前面？这在模型上线前是可以用日志完全计算出来的。

AUC 怎么计算呢？一般步骤如下。

  1. 用模型给样本计算推荐分数，比如样本都是用户和物品这样一对一对的，同时还包含了有无反馈的标识；
  2. 得到打过分的样本，每条样本保留两个信息，第一个是分数，第二个是 0 或者 1，1 表示用户消费过，是正样本，0 表示没有，是负样本；
  3. 按照分数对样本重新排序，降序排列；
  4. 给每一个样本赋一个排序值，第一位 r1 = n，第二位 r2 = n-1，以此类推；其中要注意，如果几个样本分数一样，需要将其排序值调整为他们的平均值；
  5. 最终按照下面这个公式计算就可以得到 AUC 值。

我在文稿中放了这个公式，你可以点击查看。

AUC=∑i∈(样本)ri−M×(M+1)2M×NAUC=∑i∈(样本)ri−M×(M+1)2M×N