在我们日常的程序开发中，不只会用到整数。更多情况下，我们用到的都是实数。比如，我们开发一个电商 App，商品的价格常常会是 9 块 9；再比如，现在流行的深度学习算法，对应的机器学习里的模型里的各个权重也都是 1.23 这样的数。可以说，在实际的应用过程中，这些有零有整的实数，是和整数同样常用的数据类型，我们也需要考虑到。

浮点数的不精确性

那么，我们能不能用二进制表示所有的实数，然后在二进制下计算它的加减乘除呢？先不着急，我们从一个有意思的小案例来看。

你可以在 Linux 下打开 Python 的命令行 Console，也可以在 Chrome 浏览器里面通过开发者工具，打开浏览器里的 Console，在里面输入“0.3 + 0.6”，然后看看你会得到一个什么样的结果。

1
2
3
4


>>> 0.3 + 0.6

0.8999999999999999

不知道你有没有大吃一惊，这么简单的一个加法，无论是在 Python 还是在 JavaScript 里面，算出来的结果居然不是准确的 0.9，而是 0.8999999999999999 这么个结果。这是为什么呢？

在回答为什么之前，我们先来想一个更抽象的问题。通过前面的这么多讲，你应该知道我们现在用的计算机通常用 16/32 个比特（bit）来表示一个数。那我问你，我们用 32 个比特，能够表示所有实数吗？

答案很显然是不能。32 个比特，只能表示 2 的 32 次方个不同的数，差不多是 40 亿个。如果表示的数要超过这个数，就会有两个不同的数的二进制表示是一样的。那计算机可就会一筹莫展，不知道这个数到底是多少。

40 亿个数看似已经很多了，但是比起无限多的实数集合却只是沧海一粟。所以，这个时候，计算机的设计者们，就要面临一个问题了：我到底应该让这 40 亿个数映射到实数集合上的哪些数，在实际应用中才能最划得来呢？

定点数的表示

有一个很直观的想法，就是我们用 4 个比特来表示 0～9 的整数，那么 32 个比特就可以表示 8 个这样的整数。然后我们把最右边的 2 个 0～9 的整数，当成小数部分；把左边 6 个 0～9 的整数，当成整数部分。这样，我们就可以用 32 个比特，来表示从 0 到 999999.99 这样 1 亿个实数了。

这种用二进制来表示十进制的编码方式，叫作BCD 编码（Binary-Coded Decimal）。其实它的运用非常广泛，最常用的是在超市、银行这样需要用小数记录金额的情况里。在超市里面，我们的小数最多也就到分。这样的表示方式，比较直观清楚，也满足了小数部分的计算。

不过，这样的表示方式也有几个缺点。

**第一，这样的表示方式有点“浪费”。**本来 32 个比特我们可以表示 40 亿个不同的数，但是在 BCD 编码下，只能表示 1 亿个数，如果我们要精确到分的话，那么能够表示的最大金额也就是到 100 万。如果我们的货币单位是人民币或者美元还好，如果我们的货币单位变成了津巴布韦币，这个数量就不太够用了。

**第二，这样的表示方式没办法同时表示很大的数字和很小的数字。**我们在写程序的时候，实数的用途可能是多种多样的。有时候我们想要表示商品的金额，关心的是 9.99 这样小的数字；有时候，我们又要进行物理学的运算，需要表示光速，也就是 3×1083×108