我们都知道，计算机的起源是数学中的二进制计数法。可以说，没有二进制，就没有如今的计算机系统。那什么是二进制呢？为什么计算机要使用二进制，而不是我们日常生活中的十进制呢？如何在代码中操作二进制呢？专栏开始，我们就从计算机认知的起源——二进制出发，讲讲它在计算机中的“玄机”。

什么是二进制计数法？

为了让你更好地理解二进制计数法，我们先来简单地回顾一下人类计数的发展史。

原始时代，人类用路边的小石子，来统计放牧归来的羊只数量，这表明我们很早就产生了计数的意识。后来，罗马人用手指作为计数的工具，并在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数量。表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形等等。

公元 3 世纪左右，印度数学家（也有说法是阿拉伯人）发明了阿拉伯数字。阿拉伯数字由从 0 到 9 这样 10 个计数符号组成，并采取进位制法，高位在左，低位在右，从左往右书写。由于阿拉伯数字本身笔画简单，演算便利，因此它们逐渐在各国流行起来，成为世界通用的数字。

日常生活中，我们广泛使用的十进制计数法，也是基于阿拉伯数字的。这也是十进制计数法的基础。因此，相对其他计数方法，十进制最容易被我们所理解。

让我们来观察一个数字：2871。

其中 ^ 表示幂或次方运算。十进制的数位（千位、百位、十位等）全部都是 10^n 的形式。需要特别注意的是，任何非 0 数字的 0 次方均为 1。在这个新的表示式里，10 被称为十进制计数法的基数，也是十进制中“十”的由来。这个我想你应该好理解，因为这和我们日常生活的习惯是统一的。

明白了十进制，我们再试着用类似的思路来理解二进制的定义。我以二进制数字 110101 为例，解释给你听。我们先来看，这里 110101 究竟代表了十进制中的数字几呢？

刚才我们说了，十进制计数是使用 10 作为基数，那么二进制就是使用 2 作为基数，类比过来，二进制的数位就是 2^n 的形式。如果需要将这个数字转化为人们易于理解的十进制，我们就可以这样来计算：

按照这个思路，我们还可以推导出八进制（以 8 为基数）、十六进制（以 16 为基数）等等计数法，很简单，我在这里就不赘述了。

至此，你应该已经理解了什么是二进制。但是仅有数学的理论知识是不够的，结合相关的代码实践，相信你会有更深刻的印象。

基于此，我们来看看二进制和十进制数在 Java 语言中是如何互相转换的，并验证一下我们之前的推算。我这里使用的是 Java 语言来实现的，其他主流的编程语言实现方式都是类似的。

这段代码的实现采用了 Java 的 BigInteger 类及其 API 函数，我都加了代码注释，并且穿插一些解释，你应该可以看懂。

首先，我们引入 BigInteger 包，通过它和 Integer 类的 API 函数进行二进制和十进制的互相转换。

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import java.math.BigInteger;

 public class Lesson1_1 {

     /**

     * @Description: 十进制转换成二进制

    * @param decimalSource

    * @return String

    */

    public static String decimalToBinary(int decimalSource) {

       BigInteger bi = new BigInteger(String.valueOf(decimalSource)); // 转换成 BigInteger 类型，默认是十进制

       return bi.toString(2); // 参数 2 指定的是转化成二进制

    }

     /**

    * @Description: 二进制转换成十进制

    * @param binarySource

    * @return int

    */

    public static int binaryToDecimal(String binarySource) {

       BigInteger bi = new BigInteger(binarySource, 2);  // 转换为 BigInteger 类型，参数 2 指定的是二进制

       return Integer.parseInt(bi.toString());     // 默认转换成十进制

    }

}

然后，我们通过一个十进制数和一个二进制数，来验证一下上述代码的正确性。

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 public static void main(String[] args) {     

       int a = 53;

      String b = "110101";

      System.out.println(String.format(" 数字 %d 的二进制是 %s", a, Lesson1_1.decimalToBinary(a))); // 获取十进制数 53 的二进制数

      System.out.println(String.format(" 数字 %s 的十进制是 %d", b, Lesson1_1.binaryToDecimal(b))); // 获取二进制数 110101 的十进制数

    }

 

这段代码运行的结果是：十进制数字 53 的二进制是 110101，二进制数字 110101 的十进制是 53。

好了，关于十进制和二进制的概念以及进制之间的相互转换，你应该都很清楚了。既然有十进制，又有二进制，你可能就要问了，为啥计算机使用的是二进制而不是十进制呢？

计算机为什么使用二进制？

我觉得，计算机使用二进制和现代计算机系统的硬件实现有关。组成计算机系统的逻辑电路通常只有两个状态，即开关的接通与断开。

断开的状态我们用“0”来表示，接通的状态用“1”来表示。由于每位数据只有断开与接通两种状态，所以即便系统受到一定程度的干扰时，它仍然能够可靠地分辨出数字是“0”还是“1”。因此，在具体的系统实现中，二进制的数据表达具有抗干扰能力强、可靠性高的优点。

相比之下，如果用十进制设计具有 10 种状态的电路，情况就会非常复杂，判断状态的时候出错的几率就会大大提高。

另外，二进制也非常适合逻辑运算。逻辑运算中的“真”和“假”，正好与二进制的“0”和“1”两个数字相对应。逻辑运算中的加法（“或”运算）、乘法（“与”运算）以及否定（“非”运算）都可以通过“0”和“1”的加法、乘法和减法来实现。

二进制的位操作

了解了现代计算机是基于二进制的，我们就来看看，计算机语言中针对二进制的位操作。这里的位操作，也叫作位运算，就是直接对内存中的二进制位进行操作。常见的二进制位操作包括向左移位和向右移位的移位操作，以及“或”“与”“异或”的逻辑操作。下面我们一一来看。

向左移位

我们先来看向左移位。

二进制 110101 向左移一位，就是在末尾添加一位 0，因此 110101 就变成了 1101010。请注意，这里讨论的是数字没有溢出的情况。

所谓数字溢出，就是二进制数的位数超过了系统所指定的位数。目前主流的系统都支持至少 32 位的整型数字，而 1101010 远未超过 32 位，所以不会溢出。如果进行左移操作的二进制已经超出了 32 位，左移后数字就会溢出，需要将溢出的位数去除。

在这个例子中，如果将 1101010 换算为十进制，就是 106，你有没有发现，106 正好是 53 的 2 倍。所以，我们可以得出一个结论：二进制左移一位，其实就是将数字翻倍。

向右移位

接下来我们来看向右移位。

二进制 110101 向右移一位，就是去除末尾的那一位，因此 110101 就变成了 11010（最前面的 0 可以省略）。我们将 11010 换算为十进制，就是 26，正好是 53 除以 2 的整数商。所以二进制右移一位，就是将数字除以 2 并求整数商的操作。

下面我们来看看，用代码如何进行移位操作。

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import java.math.BigInteger;

 public class Lesson1_2 {  

    /**

    * @Description: 向左移位

    * @param num- 等待移位的十进制数， m- 向左移的位数

    * @return int- 移位后的十进制数

    */

   public static int leftShift(int num, int m) {

      return num << m;

   }

     /**

    * @Description: 向右移位

    * @param num- 等待移位的十进制数， m- 向右移的位数

    * @return int- 移位后的十进制数

    */

   public static int rightShift(int num, int m) {

      return num >>> m;

   } 

 }

然后，我们用一段测试代码验证下结果。

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public static void main(String[] args) {     

       int num = 53;

      int m = 1;

      System.out.println(String.format(" 数字 %d 的二进制向左移 %d 位是 %d", num, m, Lesson1_2.leftShift(num, m)));   // 测试向左移位

      System.out.println(String.format(" 数字 %d 的二进制向右移 %d 位是 %d", num, m, Lesson1_2.rightShift(num, m)));   // 测试向右移位     

       System.out.println();

           m = 3;

      System.out.println(String.format(" 数字 %d 的二进制向左移 %d 位是 %d", num, m, Lesson1_2.leftShift(num, m)));   // 测试向左移位

      System.out.println(String.format(" 数字 %d 的二进制向右移 %d 位是 %d", num, m, Lesson1_2.rightShift(num, m)));   // 测试向右移位 

    } 

 

这段代码的运行结果是：数字 53 向左移 1 位是 106；数字 53 向右移 1 位是 26。数字 53 向左移 3 位是 424，数字 53 向右移 3 位是 6。

我来解释一下。其中，移位 1 次相当于乘以或除以 2，而移位 3 次就相当于乘以或除以 8（即 2 的 3 次方）。细心的话，你可能已经发现，Java 中的左移位和右移位的表示是不太一样的。

**左移位是 «，那右移位为什么是 »> 而不是 » 呢？**实际上，» 也是右移操作。简单来说，之所以有这两种表达方式，根本原因是 Java 的二进制数值中最高一位是符号位。这里我给你详细解释一下。

当符号位为 0 时，表示该数值为正数；当符号位为 1 时，表示该数值为负数。我们以 32 位 Java 为例，数字 53 的二进制为 110101，从右往左数的第 32 位是 0，表示该数是正数，只是通常我们都将其省略。

如果数字是 -53 呢？那么第 32 位就不是 0，而是 1。请注意我这里列出的是补码。

那么这个时候向右移位，就会产生一个问题：对于符号位（特别是符号位为 1 的时候），我们是否也需要将其右移呢？因此，Java 里定义了两种右移，逻辑右移和算术右移。逻辑右移 1 位，左边补 0 即可。

算术右移时保持符号位不变，除符号位之外的右移一位并补符号位 1。补的 1 仍然在符号位之后。

逻辑右移在 Java 和 Python 语言中使用 »> 表示，而算术右移使用 » 表示。如果你有兴趣，可以自己编码尝试一下，看看这两种操作符输出的结果有何不同。

在 C 或 C++ 语言中，逻辑右移和算数右移共享同一个运算符 »。那么，编译器是如何决定使用逻辑右移还是算数右移呢？答案是，取决于运算数的类型。如果运算数类型是 unsigned，则采用逻辑右移；而是 signed，则采用算数右移。如果你针对 unsigned 类型的数据使用算数右移，或者针对 signed 类型的数据使用逻辑右移，那么你首先需要进行类型的转换。

由于左移位无需考虑高位补 1 还是补 0（符号位可能为 1 或 0），所以不需要区分逻辑左移和算术左移。

位的“或”

我们刚才说了，二进制的“1”和“0”分别对应逻辑中的“真”和“假”，因此可以针对位进行逻辑操作。

逻辑“或”的意思是，参与操作的位中只要有一个位是 1，那么最终结果就是 1，也就是“真”。如果我们将二进制 110101 和 100011 的每一位对齐，进行按位的“或”操作，就会得到 110111。

位的“与”

同理，我们也可以针对位进行逻辑“与”的操作。“与”的意思是，参与操作的位中必须全都是 1，那么最终结果才是 1（真），否则就为 0（假）。如果我们将二进制 110101 和 100011 的每一位对齐，进行按位的“与”操作，就会得到 100001。

位的“异或”

逻辑“异或”和“或”有所不同，它具有排异性，也就是说如果参与操作的位相同，那么最终结果就为 0（假），否则为 1（真）。所以，如果要得到 1，参与操作的两个位必须不同，这就是此处“异”的含义。我们将二进制 110101 和 100011 的每一位对齐，进行按位的“异或”操作，可以得到结果是 10110。

我总结一下，“异或”操作的本质其实就是，所有数值和自身进行按位的“异或”操作之后都为 0。而且要通过“异或”操作得到 0，也必须通过两个相同的数值进行按位“异或”。这表明了两个数值按位“异或”结果为 0，是这两个数值相等的必要充分条件，可以作为判断两个变量是否相等的条件。

接下来，我们来学习一下，在代码中如何实现二进制的逻辑操作。Java 中使用 | 表示按位的“或”，& 表示按位“与”，^ 表示按位“异或”。

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import java.math.BigInteger;

 public class Lesson1_3 {  

    /**

    * @Description: 二进制按位“或”的操作

    * @param num1- 第一个数字，num2- 第二个数字

    * @return 二进制按位“或”的结果

    */

   public static int or(int num1, int num2) {

              return (num1 | num2);

        }  

    /**

    * @Description: 二进制按位“与”的操作

    * @param num1- 第一个数字，num2- 第二个数字

    * @return 二进制按位“与”的结果

    */

   public static int and(int num1, int num2) {     

         return (num1 & num2);

        } 

    /**

     * @Description: 二进制按位“异或”的操作

    * @param num1- 第一个数字，num2- 第二个数字

    * @return 二进制按位“异或”的结果

    */

    public static int xor(int num1, int num2) {     

       return (num1 ^ num2);

        }  

  }

同样，我们写一段测试代码，验证一下上面三个函数。

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 public static void main(String[] args) {

       int a = 53;

      int b = 35;

       System.out.println(String.format(" 数字 %d(%s) 和数字 %d(%s) 的按位‘或’结果是 %d(%s)",

            a, decimalToBinary(a), b, decimalToBinary(b), Lesson2_3.or(a, b), decimalToBinary(Lesson1_3.or(a, b)))); // 获取十进制数 53 和 35 的按位“或”     

       System.out.println(String.format(" 数字 %d(%s) 和数字 %d(%s) 的按位‘与’结果是 %d(%s)",

            a, decimalToBinary(a), b, decimalToBinary(b), Lesson2_3.and(a, b), decimalToBinary(Lesson1_3.and(a, b))));  // 获取十进制数 53 和 35 的按位“与”     

       System.out.println(String.format(" 数字 %d(%s) 和数字 %d(%s) 的按位‘异或’结果是 %d(%s)",

            a, decimalToBinary(a), a, decimalToBinary(a), Lesson2_3.xor(a, a), decimalToBinary(Lesson1_3.xor(a, a))));  // 获取十进制数 53 和 35 的按位“异或”     

    } 

  

这段代码的运行结果是：数字 53(110101) 和数字 35(100011) 的按位‘或’结果是 55(110111)，数字 53(110101) 和数字 35(100011) 的按位‘与’结果是 33(100001)，数字 53(110101) 和数字 53(110101) 的按位‘异或’结果是 0(0)。

小结

今天我们聊了二进制，你可能会问：学习二进制究竟有什么用呢？平时的编程中，我们好像并没有使用相关的知识啊？确实，目前的高级语言可以帮助我们将人类的思维逻辑转换为使用 0 和 1 的机器语言，我们不用再为此操心了。但是，二进制作为现代计算机体系的基石，这些基础的概念和操作，你一定要非常了解。

二进制贯穿在很多常用的概念和思想中，例如逻辑判断、二分法、二叉树等等。逻辑判断中的真假值就是用二进制的 1 和 0 来表示的；二分法和二叉树都是把要处理的问题一分为二，正好也可以通过二进制的 1 和 0 来表示。因此，理解了二进制，你就能更加容易地理解很多计算机的数据结构和算法，也为我们后面的学习打下基础。

思考题

如果不使用 Java 语言自带的 BigInteger 类，我们还有什么方法来实现十进制到二进制的转换呢？（提示：可以使用二进制的移位和按位逻辑操作来实现。）

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