你好，我是黄申。

上一节，我们探讨了如何在树的结构里进行深度优先搜索。说到这里，有一个问题，不知道你有没有思考过，树既然是两维的，我们为什么一定要朝着纵向去进行深度优先搜索呢？是不是也可以朝着横向来进行搜索呢？今天我们就来看另一种搜索机制，广度优先搜索。

社交网络中的好友问题

LinkedIn、Facebook、微信、QQ 这些社交网络平台都有大量的用户。在这些社交网络中，非常重要的一部分就是人与人之间的“好友”关系。

在数学里，为了表示这种好友关系，我们通常使用图中的结点来表示一个人，而用图中的边来表示人和人之间的相识关系，那么社交网络就可以用图论来表示。而“相识关系”又可以分为单向和双向。

单向表示，两个人 a 和 b，a 认识 b，但是 b 不认识 a。如果是单向关系，我们就需要使用有向边来区分是 a 认识 b，还是 b 认识 a。如果是双向关系，双方相互认识，因此直接用无向边就够了。在今天的内容里，我们假设相识关系都是双向的，所以我们今天讨论的都是无向图。

从上面的例图可以看出，人与人之间的相识关系，可以有多条路径。比如，张三可以直接连接赵六，也可以通过王五来连接赵六。比较这两条通路，最短的通路长度是 1，因此张三和赵六是一度好友。也就是说，这里我用两人之间最短通路的长度，来定义他们是几度好友。照此定义，在之前的社交关系示意图中，张三、王五和赵六互为一度好友，而李四和赵六、王五为二度好友。

寻找两个人之间的最短通路，或者说找出两人是几度好友，在社交中有不少应用。例如，向你推荐新的好友、找出两人之间的关系的紧密程度、职场背景调查等等。在 LinkedIn 上，有个功能就是向你推荐了你可能感兴趣的人。下面这张图是我的 LinkedIn 主页里所显示的好友推荐。

这些被推荐的候选人，和我都有不少的共同连接，也就是共同好友。所以他们都是我的二度好友。但是，他们和我之间还没有建立直接的联系，因此不是一度好友。也就是说，对于某个当前用户，LinkedIn 是这么来选择好友推荐的：

  • 被推荐的人和当前用户不是一度好友；
  • 被推荐的人和当前用户是二度好友。

那为什么我们不考虑“三度“甚至是“四度”好友呢？我前面已经说过，两人之间最短的通路长度，表示他们是几度好友。那么三度或者四度，就意味着两人间最短的通路也要经历 2 个或更多的中间人，他们的关系就比较疏远，互相添加好友的可能性就大大降低。

所以呢，总结一下，如果我们想进行好友推荐，那么就要优先考虑用户的“二度“好友，然后才是“三度”或者“四度”好友。那么，下一个紧接着要面临的问题就是：给定一个用户，如何优先找到他的二度好友呢？

深度优先搜索面临的问题

这种情况下，你可能会想到上一篇介绍的深度优先搜索。深度优先搜索不仅可以用在树里，还可以应用在图里。不过，我们要面临的问题是图中可能存在回路，这会增加通路的长度，这是我们在计算几度好友时所不希望的。所以在使用深度优选搜索的时候，一旦遇到产生回路的边，我们需要将它过滤。具体的操作是，判断新访问的点是不是已经在当前通路中出现过，如果出现过就不再访问。

如果过滤掉产生回路的边，从一个用户出发，我们确实可以使用深度优先的策略，搜索完他所有的 n 度好友，然后再根据关系的度数，从二度、三度再到四度进行排序。这是个解决方法，但是效率太低了。为什么呢？

你也许听说过社交关系的六度理论。这个理论神奇的地方在于，它说地球上任何两个人之间的社交关系不会超过六度。咋一听，感觉不太可能。仔细想想，假设每个人平均认识 100 个人（我真心不觉得 100 很多，不信你掰着指头数数看自己认识多少人），那么你的二度好友就是 100^2，这个可以用我们前面讲的排列思想计算而来。

以此类推，三度好友是 100^3，到五度好友就有 100 亿人了，已经超过了地球目前的总人口。即使存在一些好友重复的情况下，例如，你的一度好友可能也出现在你的三度好友中，那这也不可能改变结果的数量级。所以目前来看，地球上任何两个人之间的社会关系不会超过六度。

六度理论告诉我们，你的社会关系会随着关系的度数增加，而呈指数级的膨胀。这意味着，在深度搜索的时候，每增加一度关系，就会新增大量的好友。但是你仔细回想一下，当我们在用户推荐中查看可能的好友时，基本上不会看完所有推荐列表，最多也就看个几十个人，一般可能也就看看前几个人。所以，如果我们使用深度优先搜索，把所有可能的好友都找到再排序，那效率实在太低了。

什么是广度优先搜索？

更高效的做法是，我们只需要先找到所有二度的好友，如果二度好友不够了，再去找三度或者四度的好友。这种好友搜索的模式，其实就是我们今天要介绍的广度优先搜索。

广度优先搜索（Breadth First Search），也叫宽度优先搜索，是指从图中的某个结点出发，沿着和这个点相连的边向前走，去寻找和这个点距离为 1 的所有其他点。只有当和起始点距离为 1 的所有点都被搜索完毕，才开始搜索和起始点距离为 2 的点。当所有和起始点距离为 2 的点都被搜索完了，才开始搜索和起始点距离为 3 的点，如此类推。

我用上一节介绍深度优先搜索顺序的那棵树，带你看一下广度优先搜索和深度优先搜索，在结点访问的顺序上有什么不一样。

同样，我们用结点上的数字表示结点的 ID，用虚线表示遍历前进的方向，用结点边上的数字表示该结点在广度优先搜索中被访问的顺序。从这个图中，你有没有发现，广度优先搜索其实就是横向搜索一颗树啊！

尽管广度优先和深度优先搜索的顺序是不一样的，它们也有两个共同点。

第一，在前进的过程中，我们不希望走重复的结点和边，所以会对已经被访问过的点做记号，而在之后的前进过程中，就只访问那些还没有被标记的点。这一点上，广度优先和深度优先是一致的。有所不同的是，在广度优先中，如果发现和某个结点直接相连的点都已经被访问过，那么下一步就会看和这个点的兄弟结点直接相连的那些点，从中看看是不是有新的点可以访问。

例如，在上图中，访问完结点 945 的两个子结点 580 和 762 之后，广度优先策略发现 945 没有其他的子结点了，因此就去查看 945 的兄弟结点 131，看看它有哪些子结点可以访问，因此下一个被访问的点是 906。而在深度优先中，如果到了某个点，发现和这个点直接相连的所有点都已经被访问过了，那么不会查看它的兄弟结点，而是回退到这个点的父节点，继续查看和父结点直接相连的点中是不是存在新的点。例如在上图中，访问完结点 945 的两个子结点之后，深度优先策略会回退到点 110，然后访问 110 的子结点 131。

第二，广度优先搜索也可以让我们访问所有和起始点相通的点，因此也被称为广度优先遍历。如果一个图包含多个互不连通的子图，那么从起始点开始的广度优先搜索只能涵盖其中一个子图。这时，我们就需要换一个还没有被访问过的起始点，继续深度优先遍历另一个子图。深度优先搜索可以使用同样的方式来遍历有多个连通子图的图，这也回答了上一讲的思考题。

如何实现社交好友推荐？

第 12 讲中我说深度优先是利用递归的嵌套调用、或者是栈的数据结构来实现的。然而，广度优先的访问顺序是不一样的，我们需要优先考虑和某个给定结点距离为 1 的所有其他结点。等距离为 1 的结点访问完，才会考虑距离为 2 的结点。等距离为 2 的结点访问完，才会考虑距离为 3 的结点等等。在这种情况下，我们无法不断地根据结点的边走下去，而是要先遍历所有距离为 1 的点。

那么，如何在记录所有已被发现的结点情况下，优先访问距离更短的点呢？仔细观察，你会发现和起始点更近的结点，会先更早地被发现。也就是说，越早被访问到的结点，越早地处理它，这是不是很像我们平时排队的情形？早到的人可以优先接受服务，而晚到的人需要等前面的人都离开，才能轮到。所以这里我们需要用到队列这种先进先出（First In First Out）的数据结构。

如果你不是很熟悉队列的数据结构，我这里简短地回顾一下。队列是一种线性表，要被访问的下一个元素来自队列的头部，而所有新来的元素都会加入队列的尾部。

我画了张图给你讲队列的工作过程。首先，读取已有元素的时候，都是从队列的头部来取，例如 x1x1