你好，我是黄申。

通过第一个模块的学习，我想你对离散数学在编程领域中的应用，已经有了比较全面的认识。可以看出来，数据结构和基础算法体现的大多数都是离散数学的思想。这些思想更多的时候是给我们提供一种解决问题的思路，在具体指导我们解决问题的时候，我们还需要更多的数学知识。

比如说，在机器学习、数据挖掘等领域，概率统计就发挥着至关重要的作用。那关于概率统计，我们需要掌握哪些知识呢？这些知识究竟可以用在什么地方呢？第二模块的第一节，我们就来聊聊这些问题，让你对这一模块的学习做到心中有数。

概率和统计里有哪些需要掌握的概念？

在第一个模块中，我们认为所有事件都是一分为二的，要么必然发生，要么必然不发生。换句话说，事件的发生只有必然性，没有随机性。但是现实生活中，我们常常会碰到一些模棱两可的情况。

比如，你读到一则新闻，它报道了某个娱乐圈明星投资了一家互联网公司。那么，这则报道是属于娱乐新闻，还是科技新闻呢？你仔细读了读，觉得全篇大部分的内容都是讲述这家互联网企业的发展，而只有少部分的内容涉及了这位明星的私生活。你可能会说，这篇新闻 80% 的可能属于科技新闻，只有 20% 的可能属于娱乐新闻。这里面的数字表示了事件发生的可能性。概率（Probability）就是描述这种可能性的一个数值。

在概率的世界里，有很多概念。但是这几个非常基本的概念，你一定要知道。

我们用随机变量（Random Variable）来描述事件所有可能出现的状态，并使用概率分布（Probability Distribution）来描述每个状态出现的可能性。而随机变量又可以分为离散型随机变量（Discrete Random Variable）和连续型随机变量（Continuous Random Variable）。

这几个概念非常简单，但是其实也很抽象。我举个具体的例子，帮你加深印象。

假设我们使用一个随机变量 x 来表示新闻类型，如果在 100 篇新闻中，有 60 篇是娱乐新闻，有 20 篇是科技新闻，有 20 篇是体育新闻，那么你看到娱乐新闻的概率就是 60%，看到科技新闻的概率就是 20%，看到体育新闻的概率就是 20%。而这三组数据就可以构成变量 x 的概率分布P(x)。

在这个概率分布中，我们只有一个随机变量 x，现在我再添加另一个随机变量 y，表示新闻属于国际的还是国内的。这个时候，新的概率分布就需要由 x 和 y 这两个变量联合起来才能决定，我们把这种概率称为联合概率（Joint Probability）。

比如说，刚才那 100 篇新闻中有 30 篇是国际新闻，而这 30 篇中有 5 篇是科技新闻，那么国际科技新闻的联合概率就是 5/100=5%。不同的 x 和 y 取值的组合，就对应了不同的联合概率，我们用 P(x, y) 来表示。

对于离散型随机变量，通过联合概率 P(x, y) 在 y 上求和，就可以得到 P(x)，这个 P(x) 就是边缘概率（Marginal Probability）。对于连续型随机变量，我们可以通过联合概率 P(x, y) 在 y 上的积分，推导出边缘概率 P(x)。边缘概率有啥用呢？有的时候，情况看起来很复杂，而我们其实只需要研究单个事件对概率分布的影响就可以了。这个时候，边缘概率可以帮助我们去除那些我们不需要关心的事件，把联合概率转换为非联合概率，例如从 P(x, y) 得到 P(x)，从而忽略 y 事件。

对于多个随机变量，还有一个很重要的概念是条件概率。我估计很多人可能搞不清楚这个概念。我还是举例子跟你说。比如说，我们现在假设 100 篇中有 30 篇是国际新闻，而这 30 篇中有 5 篇是科技新闻，那在国际新闻中出现科技新闻的概率是多少呢？

这时候，我们就需要条件概率了。也就是某个事件受其他事件影响之后出现的概率，放到咱们的例子里，在国际新闻中出现科技新闻的概率就是 5/30=16.67%，在科技新闻中出现国际新闻的概率就是 5/20=25%。

说了这么多，不知道你有没有一种感觉，其实概率论研究的就是这些概率之间相互转化的关系，比如联合概率、条件概率和边缘概率。通过这些关系，概率论中产生了著名的贝叶斯定理（Bayes’theorem）。加上变量的独立性，我们就可以构建朴素贝叶斯（Naive Bayes）分类算法，这个算法在机器学习中的应用非常广泛，我们后面也会有一节课专门来讲。

此外，基于概率发展而来的信息论，提出了很多重要的概率，例如信息熵（Entropy）/ 香农熵（Shannon Entropy）、信息增益（Information Gain）、基尼指数（Gini）等。这些概念都被运用到了决策树（Decision Tree）的算法中。

提到概率论，就一定要提统计学。这是因为，概率和统计 **其实是互逆的。**怎么个互逆呢？概率论是对数据产生的过程进行建模，然后研究某种模型所产生的数据有什么特性。而统计学正好相反，它需要通过已知的数据，来推导产生这些数据的模型是怎样的。因此统计特别关注数据的各种分布、统计值及其对应的统计意义。

比如，现在有一大堆的新闻稿，我们想知道这里面有多少是娱乐新闻，有多少是科技新闻等等。我们可以先拿出一小部分采样数据，逐个来判断它属于哪个类型。比如说，分析了 10 篇之后，我们发现有 7 篇是科技新闻，2 篇是娱乐新闻，1 篇是体育新闻，那么从统计结果来看，三个类型的概率分别是 70%、20% 和 10%。然后，我们根据从这个小采样得来的结论，推测出科技新闻、娱乐新闻和体育新闻所占的比例。这就是统计学要做的事情。

在真实的世界里，我们通常只能观测到一些数据，而无法事先知道，是什么模型产生了这些数据，这时候就要依赖统计学。所以，海量数据的分析、实验和机器学习，都离不开统计学。

概率和统计可以帮我们做什么？

弄清楚这些基本概念之后，我们来看看概率和统计的知识能帮我们做点什么。

首先，我还是要提到复杂度分析。你可能会奇怪，之前讨论的复杂度分析好像没有涉及到概率啊。这是因为，在计算平均复杂度的时候，我们其实做了一个假设：所有情况出现的概率都是一样的。

我以最简单的查找算法为例。假设一个数组包含了 n 个元素，我们对其中的元素采取逐个扫描的方式，来查找其中的某个元素。如果这个元素一定会被找到，那么最好时间复杂度是 O(1)，最差时间复杂度是 O(n)，平均时间复杂度是 O((n+1)/2)。

等等，为什么平均复杂度是 O((n+1)/2) 呢？我们假设一共扫描了 n 次，第 1 次扫描了 1 个元素，第 2 次扫描了 2 个元素，一直到第 n 次扫描了 n 个元素，那么总共的扫描次数是 (1+2+…+n) = ((n+1)*n)/2，然后除以 n 次，得到每次扫描的元素数量平均值是 (n+1)/2，所以时间复杂度就是 O((n+1)/2)。

我把上述求和式改写成下面这样：

如果 1/n 是每种情况发生的概率，那么平均的扫描次数就是，不同情况下扫描次数按照概率进行的加权平均。问题来了，为什么这 n 种情况发生的概率都是 1/n 呢？这是因为之前我们做了一个默认的假设，我们每种情况发生的概率是一样的。但在实际生活中，概率很可能不是均匀分布的。

比如说，一个网站要对它的用户发放优惠券，那我们就需要先找到这些用户。我们用一个长度为 n 的数组代表某个网站的用户列表。我们假设第一个注册用户 ID 是 1，第二个注册用户的 ID 是 2，以此类推，最近刚刚注册的用户 ID 为 n。如果网站的发放策略是倾向于奖励新用户，那么被查找的用户 ID 有很大的概率会非常接近 n，因此平均复杂度就会非常接近 O(n)。相反，如果网站的发放策略是倾向于奖励老用户，那么搜索的用户 ID 有很大的概率是非常接近 1 的，因此平均复杂度会非常接近 O(1)。

你可以看到，现实中每种情况出现的可能性是不一样的，这也就意味者概率分布其是不均匀的。而不均匀的概率分布，最终会影响平均复杂度的加权平均计算。因此，要想获得更加准确的复杂度分析结果，我们必须要学习概率知识。

除此之外，概率和统计对于机器学习和大数据分析而言更为重要。对于机器学习而言，统计的运用是显而易见的。机器学习中的监督式学习，就是通过训练样本，估计出模型的参数，最后使用训练得出的模型，对新的数据进行预测。通过训练样本来估计模型，我们可以交给统计来完成。在机器学习的特征工程步骤中，我们可以使用统计的正态分布，标准化（standardization）不同取值范围的特征，让它们具有可比性。

此外，对机器学习算法进行效果评估时，AB 测试可以减少不同因素对评测结果的干扰。为了获得更可靠的结论，我们需要理解统计意义，并为每个 AB 测试计算相应的统计值。

最后，概率模型从理论上对某些机器学习算法提供了支持。朴素贝叶斯分类充分利用了贝叶斯定理，使用先验概率推导出后验概率，并通过变量之间相互独立的假设，把复杂的计算进行大幅的简化。简化之后，我们就可以把这个算法运用在海量文本的分类任务上。

而决策树使用了信息熵和信息增益，挑出最具有区分力的条件，构建决策树的结点和分支。这样构建出的树，不仅分类效率更高，而且更利于人脑的理解。谷歌的 PageRank 算法利用马尔科夫链的概率转移，有效地刻画了人们浏览互联网的行为，大幅提升了互联网搜索的体验。

学习这部分内容，需要做哪些准备？

听我说了这么多专栏的内容，你是不是有点担心，专栏的内容太深奥，不好理解。甚至在想，有没有必要做些准备？

学习不是件容易的事，因此进步的过程，从来不会轻松。努力需要你自己来，但是我也会从我的角度出发助力你的学习。我会争取讲清楚每个知识点背后的前因后果，以及不同知识点之间的联系，避免平铺直叙地罗列一堆理论和公式。但是，这部分内容，有公式是不可避免的，我尽量只保留那些最核心的公式。因此，即使你之前不太了解概率和统计，也没有关系。只有跟着我的节奏，搞懂每一节的重点，相信你很快就能领悟其中的精髓。

另外，我们无法脱离应用来讲知识，不然就本末倒置了。毕竟，我们学任何知识，都是为了用的。机器学习的知识纷繁复杂，涉及广泛，很多问题甚至是跨学科、跨领域的。不过，你不用担心，这里面会有太多看不懂的名词。我在讲解的时候，尽量给你抽象出最核心的部分，讲清楚来龙去脉，让你了解它整体的运作方式，不影响你对核心知识点的吸收。

当然，你可以适度地补一些概率知识，这样理解起来会更快。我在之前的加餐三中推荐了几本书，你可以找来看看，了解一些基本概念。另外，你可以准备一些实际工作和项目中的问题。例如，你之前参与的任务，哪些可以使用概率论来解决？碰到的难题有哪些？你是如何解决的？带着这些问题，再来看我的专栏，并且多在留言区写下你的疑问和收获，相信会有到事半功倍的效果。

小结

概率中的概念看起来很多，但是，其实最重要就是你耳熟能详的这几个：随机变量、概率分布、联合概率、条件概率和边缘概率。它们是整个概率的基础，我后面会详细来讲。

通过这些概念之间的相互推导，我们可以得到贝叶斯定理，这是朴素贝叶斯等系列算法的核心。而在概率基础之上发展而来的信息论，定义了信息熵、信息增益和基尼指数等，构成了决策树等系列算法的核心。

概率研究的是模型如何产生数据，统计研究的是如何通过数据来推导其背后的模型。所以说，概率和统计其实是互逆的。

概率和统计的运用非常多，我这里主要讲了三个方面。第一，概率可以帮助我们进行更精准的复杂度分析；第二，概率统计更多的是用在机器学习和大数据分析中；第三，概率统计还可以用在各种机器学习的算法中。这些内容，在之后的章节我会进行非常详细的讲解。

思考题

之前你对概率统计的认识是什么样的呢？对这块内容，你觉得最难的是什么？

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