你好，我是黄申。今天我们来聊聊朴素贝叶斯。

在开始正式的内容之前，我想问你一个问题，你是如何区分苹果、甜橙和西瓜的？你可能要说了，这个问题还用得着讲吗？是不是你们博士都喜欢将简单的问题复杂化？还真不是，如果你将计算机想象成一个两三岁的孩子，你会怎么教一个孩子区分这些水果呢？

比如我曾经就和一个小朋友有过这样一段对话：

小朋友：黄叔叔，你和我讲讲，什么样的水果才是苹果呀？

我：圆形的、绿色的水果。

小朋友：那西瓜也是圆形的、绿色的呀？

我：嗯……苹果也有可能是黄色或红色的，但西瓜不是。

小朋友：那甜橙也是圆形的、黄色的呀？

我：好吧，你看到的大部分情况下的甜橙都是黄色的，而苹果只有很少情况（少数品种）是黄色的。而且你还可以尝尝，它们的味道也是不同的。

哈哈，你是不是觉得想要描述清楚，并没有想象中的那么容易？但是，在这个对话中，有两点我觉得你需要关注一下：

  • 我使用了“可能”“大部分情况”“很少情况”等等这种词语，这些词包含了概率的概念；
  • 我使用了多个条件来判断一个水果属于哪个类别。

基于此，我接下来就要聊聊，我们是如何通过数学的思想和方法，系统性地解决这个问题的。这其中，朴素贝叶斯（Naive Bayesian）就提供了一个切实可行的方案。不过，在深入了解它之前，我们还需要做点准备工作。

如何将原始信息转化为计算机能看懂的数据？

事实上，计算机并不像两三岁的小孩那样，可以看到水果的颜色、形状和纹理，或者能尝到水果的味道。我们需要将水果的特征转化为计算机所能理解的数据。最常用的方式就是提取现实世界中的对象之属性，并将这些转化为数字。

以水果为例，你会提取它们的哪些属性呢？我会考虑这些，比如：形状、外皮颜色、斑马纹理、重量、握感、口感。我手边刚好有一个苹果、一个甜橙和一个西瓜，我把它们的属性分别统计了一下，你可以看看。

然后，我们需要这些属性转化为计算机能够理解的东西——数字，也就是说，我给每种属性都定义了具体的数值，用来代表它们的具体属性。

比较细心的话，你可能已经发现了，我偷偷地把重量由连续值转化成了离散值，这是因为朴素贝叶斯处理的都是离散值。

好了，仅仅 3 个水果还不足以构成朴素贝叶斯分类所需的训练样本。为了保证训练的质量，我们可以继续扩展到 10 个水果。

朴素贝叶斯的核心思想

我们现在已经拿到了这 10 个水果的数据，那如果现在我手上有一个新的水果，它也有一定的形状、颜色、口感等等，你怎么判断它是哪种水果呢？

之前的文章我们讲过先验概率、后验概率、条件概率和贝叶斯法则，它们是朴素贝叶斯分类的核心组成部分。通过贝叶斯法则，我们可以根据先验概率和条件概率，推导出后验概率。首先让我们快速回想一下贝叶斯公式。

上一节，我已经详细解释了这个公式的推导和每一部分的含义，这里再强调一下贝叶斯定理的核心思想：用先验概率和条件概率估计后验概率。

那具体到这里的分类问题，我们该如何运用这个公式呢？为了便于理解，我们可以将上述公式改写成这样：

其中，c 表示一个分类（class），f 表示属性对应的数据字段（field）。如此一来，等号左边的 P(c|f) 就是待分类样本中，出现属性值 f 时，样本属于类别 c 的概率。而等号右边的 P(f|c) 是根据训练数据统计，得到分类 c 中出现属性 f 的概率。P©是分类 c 在训练数据中出现的概率，P(f) 是属性 f 在训练样本中出现的概率。

看到这里，你可能要问了，这里的贝叶斯公式只描述了单个属性值属于某个分类的概率，可是我们要分析的水果每个都有很多属性啊，这该怎么办呢？

别急，朴素贝叶斯在这里就要发挥作用了。这是基于一个简单假设建立的一种贝叶斯方法，并假定数据对象的不同属性对其归类影响时是相互独立的。此时若数据对象 o 中同时出现属性 fi 与 fj，则对象 o 属于类别 c 的概率就是这样：

现在，我们应该已经可以用 10 个水果的数据，来建立朴素贝叶斯模型了。

其中，苹果的分类中共包含 3 个数据实例，对于形状而言，出现 2 次不规则圆、1 次圆形和 0 次椭圆形，因此各自的统计概率为 0.67、0.33 和 0.00。我们将这些值称为，给定一个水果分类时，出现某个属性值的条件概率。以此类推，所有的统计结果就是下面这个表格中这样：

对于上表中出现的 0.00 概率，在做贝叶斯公式中的乘积计算时，会出现结果为 0 的情况，因此我们通常取一个比这个数据集里最小统计概率还要小的极小值，来代替“零概率”。比如，我们这里取 0.01。在填充训练数据中从来没有出现过的属性值的时候，我们就会使用这种技巧，我们给这种技巧起个名字就叫作平滑（Smoothing）。

有了这些条件概率，以及各类水果和各个属性出现的先验概率，我们已经建立起了朴素贝叶斯模型。现在，我们就可以用它进行朴素贝叶斯分类了。

假设我们有一个新的水果，它的形状是圆形，口感是甜的，那么根据朴素贝叶斯，它属于苹果、甜橙和西瓜的概率分别是多少呢？我们先来计算一下，它属于苹果的概率有多大。

其中，apple 表示分类为苹果，shape-2 表示形状属性的值为 2（也就是圆形），taste-2 表示口感属性的值为 2。以此类推，我们还可计算该水果属于甜橙和西瓜的概率。

比较这三个数值，0.00198<0.00798<0.26934，所以计算机可以得出的结论，该水果属于甜橙的可能性是最大的，或者说，这个水果最有可能是甜橙。

你可能已经注意到了，这几个公式里的概率乘积通常都非常小，在物品的属性非常多的时候，这个乘积可能就小到计算机无法处理的地步。因此，在实际运用中，我们还会采用一些数学手法进行转换（比如取 log 将小数转换为绝对值大于 1 的负数），原理都是一样的。

内容比较多，我稍微总结一下。朴素贝叶斯分类主要包括这几个步骤：

  • 准备数据：针对水果分类这个案例，我们收集了若干水果的实例，并从水果的常见属性入手，将其转化为计算机所能理解的数据。这种数据也被称为训练样本。
  • 建立模型：通过手头上水果的实例，我们让计算机统计每种水果、属性出现的先验概率，以及在某个水果分类下某种属性出现的条件概率。这个过程也被称为基于样本的训练。
  • 分类新数据：对于一颗新水果的属性数据，计算机根据已经建立的模型进行推导计算，得到该水果属于每个分类的概率，实现了分类的目的。这个过程也被称为预测。

朴素贝叶斯分类 VS 其他分类算法

用朴素贝叶斯进行分类的内容差不多就是这样，你可能要问了，朴素贝叶斯是唯一的分类算法吗？现实中需要分类的场景那么多，朴素贝叶斯都适用吗？确实，我们有很多种分类算法，它们也都有各自的优劣。我这里就把朴素贝叶斯和常用的几种分类算法做个总结和比较。

  • 和KNN 最近邻相比，朴素贝叶斯需要更多的时间进行模型的训练，但是它在对新的数据进行分类预测的时候，通常效果更好、用时更短。
  • 和决策树相比，朴素贝叶斯并不能提供一套易于人类理解的规则，但是它可以提供决策树通常无法支持的模糊分类（一个对象可以属于多个分类）。
  • 和SVM 支持向量机相比，朴素贝叶斯无法直接支持连续值的输入。所以，在前面的案例中，我将连续值转化成了离散值，便于朴素贝叶斯进行处理。

为了便于你理解记忆，我这里也做一下总结。

如果一个分类的应用场景中，待分类对象的属性值大部分都是离散的（或者很容易转化为离散的）、需要支持模糊分类，并且需要快速可靠的实时分类，那么这种场景通常就非常适合使用朴素贝叶斯方法。

总结

今天我从一个看似非常简单的判断水果的例子出发，介绍了如何通过物体的属性及其数值，让计算机理解现实世界中的事物，并通过朴素贝叶斯方法来对其进行分类。

在朴素贝叶斯方法的推导过程中，我给你讲了如何使用贝叶斯法则，将后验概率的估计转换为先验概率和条件概率。朴素贝叶斯训练过程包括基于样本数据的先验概率和条件概率统计，分类过程就包括了使用贝叶斯法则，结合新样本的属性数据以及训练好的模型数据，进行最终的预测。

最后，我将朴素贝叶斯和其他常见分类算法，比如 KNN 近邻、决策树、SVM 向量机，做了对比。朴素贝叶斯适用离散属性值中，训练过程耗时长但是分类预测速度快，支持模糊分类。这一节的内容比较偏理论，下一节，我会着重来讲朴素贝叶斯的应用场景，告诉你哪些场合下更适合使用朴素贝叶斯法。

思考题

除了文本分类，你还知道什么地方可以使用朴素贝叶斯方法来处理分类问题？

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