你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。

今天这一节课的内容是基础通关。这里会用 5 道典型例题，让你巩固一下线性代数的基础知识，这也是进入应用篇学习之前的一次动手机会。从课程上线到现在快有一个月了，这期间我收到了不少同学的提问和建议，有些问题也是我没有想到的，非常有深度，说实话这让我感觉挺意外的，希望你再接再厉。

现在，你可以看一下基础通关的 5 道例题了，题目和解析都放在了正文中，你可以自己试着做一下。基础通关后，我们应用篇再见。

例题一

找到线性方程组 Ax=b 的所有解，其中：

A=⎣⎡​13−1​202​⎦⎤​,b=⎣⎡​101​⎦⎤​

解析：

这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法，你可以参考第 4 节的内容。

首先，形成增广矩阵：

⎣⎡​13−1​202​111​101​⎦⎤​

接着，分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：

  1. 第一行乘 -3 和第二行相加。
  2. 第一行和第三行相加。

⎣⎡​100​2−64​111​1−32​⎦⎤​

  1. 第二行乘 31​ 和第一行相加。
  2. 第二行乘 32​ 和第三行相加。
  3. 第三行乘 −61​。

⎣⎡​100​010​111​021​0​⎦⎤​

最后得出该线性方程组的唯一解：

x=[021​​]

例题二

找到线性方程组 Ax=b 的所有解，其中：

A=[10​22​32​],b=[11​]

解析：

这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法。你可以参考第 4 节的内容，和例题一不同的是，例题二这里得到的会是无穷解。所以，这一题里找特殊解和通用解的方法是关键。

首先，形成增广矩阵：

[10​22​32​11​11​]

接着，形成增广矩阵：分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：

  1. 第一行乘 -1 和第二行相加；
  2. 第二行乘 1/2。

[10​01​11​11​021​​]

使用主元列，得到特殊解：

x=⎣⎡​021​0​⎦⎤​

下一步，获取线性方程组 Ax=0 的通用解，从增广矩阵的左边，能够立即得出：

λ⎣⎡​11−1​⎦⎤​

最后，把特殊解和通用解组合起来就是：

x=⎣⎡​021​0​⎦⎤​+λ⎣⎡​11−1​⎦⎤​

例题三

计算矩阵乘 AB。

A=[10​2−1​32​],B=[40​−12​21​]

解析：

这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘，你可以参考第 3 节的内容。

矩阵乘无法完成，因为 A 是 2 行 3 列矩阵，B 也是 2 行 3 列矩阵，A 和邻居维度不同。

例题四

计算矩阵乘 AB。

A=[10​2−1​32​],B=⎣⎡​422​−101​⎦⎤​

解析：

这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，你可以参考第 3 节的内容。

矩阵乘可以完成，因为两个矩阵的邻居维度相同，拿 a11​ 举例：a11​=1×4+2×2+3×2=14，结果：

AB=[142​22​]

例题五

假设 R3 和它的运算 ⟨ ⋅,⋅⟩，x,y∈R3，我们有：

⟨x,y⟩=xTAy,A=⎣⎡​401​24−1​1−15​⎦⎤​

那么，⟨ ⋅,⋅⟩ 是内积吗？

解析：

这里考察了内积，以及内积的性质之一：对称性，你可以参考第 10 节的内容。

选择 x=[1​1​0​]T，y=[1​2​0​]T，通过计算，能够得到：

⟨x,y⟩=16⟨y,x⟩=14⟨x,y⟩​=⟨y,x⟩​

于是，⟨ ⋅,⋅⟩ 是不对称的。