你好，我是朱维刚。欢迎你跟我学习线性代数。今天我们要讲的是“线性代数这门课的基本概念”。

线性代数可以运用在很多领域，比如：工程学、计算机科学、经济学、信号处理等等。我们来看一个在经济学中常见的例子：消费矩阵。

假设有 n 个行业，比如：化学、食品和石油。制造一单位的某化学品需要 0.2 单位的另一类化学品，0.3 单位的食品，以及 0.4 单位的石油，而制造一单位的某食品和某石油也同样分别需要这三类产品的输入，于是，我们就能构造这样一个消费矩阵：

∣∣∣∣∣∣​化学输出食品输出石油输出​∣∣∣∣∣∣​=⎣⎡​0.20.40.5​0.30.40.1​0.40.10.3​⎦⎤​∣∣∣∣∣∣​化学输入食品输入石油输入​∣∣∣∣∣∣​

当然，我们也可以用一般的线性方程组 Ax=b 的形式来表达：

⎩⎨⎧​0.2x1​+0.3x2​+0.4x3​=b1​0.4x1​+0.4x2​+0.1x3​=b2​0.5x1​+0.1x2​+0.3x3​=b3​​

从本质上来说，消费矩阵解决的是输入和输出之间的关系。不仅如此，线性代数在现实生活中的运用还有很多，比如，我们可以借用特征值和特征向量，预测若干年后的污水水平；在密码学中，可以使用矩阵及其逆矩阵对需发送的消息加密；在机器学习中，可以使用线性方程组的共轭迭代法来训练神经网络，等等。

刚才我分别用矩阵和线性方程组的形式给出了消费矩阵，当然，在实际生活中，你可以灵活选择最有效的方式来解决问题。

我们可以看到，线性方程组可以表示成一般形式，也就是你初中学到的 Ax=b 的形式，也可以表示成矩阵形式。矩阵是由向量组合而成的，比如刚才例子中的系数矩阵的每一行都是一个行向量，每一列都是一个列向量。

⎣⎡​0.20.40.5​0.30.40.1​0.40.10.3​⎦⎤​

从这里我们能看出，向量其实就会是线性代数最基础的核心。数学对抽象思维要求很高，简单来说，抽象思维就是抽取同类事物的共性。所以，在进入具体的线性方程组的主题前，我要先从数学抽象的角度说一说代数和线性代数，这也是深入理解后面内容的前提。

代数和线性代数的基本概念

那什么是代数呢？百度百科的解释是这样的：

代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。

但我觉得这个解释其实没有说出代数这个概念的重点。我的理解是这样的：代数是构造一系列对象和一系列操作这些对象的规则。

所以你看，代数这个概念的核心就两点，对象和操作对象的规则，这样就很好理解了吧？那有了代数的定义，线性代数就很好定义了。我们类比来看，线性代数其实就是向量，以及操作这些向量的规则。这里，向量映射到对象，向量的规则映射到对象的规则，因此线性代数是代数的具像化表达。

向量的基本概念

那什么是向量呢？从样子来看，向量其实就是由字母加上它上面的箭头来表示的，比如我们一版会写成 x。我估计你在高中或大学里已经接触过“几何向量”。那么，下面我用更抽象的数学观点来给你解释一下。

向量，也叫欧几里得向量（Euclidean Vector），其实就是能够互相相加、被标量乘的特殊对象。而标量也叫“无向量”，它只有数值大小，没有方向。怎么理解呢？我们来看一些向量的例子，通过这些例子来深入理解向量的概念。

几何向量是有向线段，在二维空间（也就是平面）中，两个几何向量能够相加，比如，向量 x 加上向量 y 等于向量 z，x+y​=z ，x 向量也能被一个标量乘。再比如，标量 λ 乘向量 x 结果也是向量，λx,λ∈R。几何向量通过大小和方向来简化向量的表达，所以，一般数学课程一开始都会拿几何向量来进行举例。

多项式其实也是向量。两个多项式能够相加，它也能够被标量乘，结果也是多项式。

**矩阵的一行或一列也是向量。**就比如下面这样形式的向量。

x∈R3:x=⎣⎡​123​⎦⎤​

两个向量能够相加，它也能够被标量乘，结果也是向量。它和现代大部分的编程语言中的数组一致，而且数组的运算简化了向量操作的算法实施。

矢量图、音频信号也是向量。它们都能被一系列数字表示，比如，在音频信号处理中，常用到数据增强的方法，通过向量的操作就能到达目标。

看了这些向量例子，不知道你现在有点感觉了吗？其实，线性代数的本质就是寻找向量之间的相似性，比如在做分类时，我们常常需要估算不同样本之间的相似性度量（Similarity Measurement），这时通常采用的方法就是计算样本间的“距离”（Distance）。

可以看出来，向量非常重要，我们后面很多内容都是从向量延伸而来的，比如矩阵和求解线性方程组。

下面我用一张图来表达和向量有关的所有概念，也就是线性代数所有的核心内容，其中大部分内容你都会学到，希望通过这个图，你对线性代数有个大概的认知。相信学习完所有课程后，你再回过头来看时，肯定会有一些新的认知。

从图中最左侧这一列，我们可以看出，向量组合成矩阵，矩阵可以表示成线性方程组，而线性方程组可以通过高斯消元法求解，也可以求逆矩阵。

同时，向量又可以组合成向量空间，向量空间和矩阵都可以做线性映射或者线性变换，线性映射在实践中可以用在解析几何和分类问题中。

而且，向量和线性独立是强相关的，也就是说，线性独立指的是向量的线性独立，而线性独立又可以引出能够生成整个空间的基（Basis），基在实践中可以用在分类和降维中。

这里，我再额外提一个非常重要的、在数学中经常用到的概念——封闭性，或者俗称闭包（Closure）。封闭性的定义是，如果我们要对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的成员，那这个集合就可以称为在这个运算下闭合。

我为什么要提这个概念呢？这是因为，向量的线性运算是封闭的，也就是说向量的加法、数乘结果仍属于向量空间，即向量的任意线性组合仍属于向量空间。

线性方程组的应用

到这里，相信你已经对线性代数、向量这些基本概念有了一个应试教育之外的、新的认识，接下来我就切入本篇的最重点的内容了，那就是线性方程组。

线性方程组在线性代数中有着举足轻重的地位，许多现实生活中的问题都可以表达成线性方程组。关于线性方程组的概念，我想不用我多说了，这是初中的内容，你应该已经非常了解了。现在我举几个例子来说一说，线性方程组在现实生活中的运用，让你从应用的角度再理解下线性方程组。

第一个例子是计算旅游团人数。假设，一个旅游团由孩子和大人组成，去程时他们一起坐大巴，每个孩子的票价 3 元，大人票价 3.2 元，总共花费 118.4 元。回程时一起坐火车，每个孩子的票价 3.5 元，大人票价 3.6 元，总共花费 135.2 元。请问这个旅游团中有多少孩子和大人？

假设小孩人数为 x1​，大人人数为 x2​，于是我们得到了一个方程组：

{3x1​+3.2x2​=118.43.5x1​+3.6x2​=135.2​

使用初中的解二元一次方程组的知识，我们可以得出这个方程组的解是：

{x1​=16x2​=22​

这个就是典型的线性方程组的现实例子。当然，我们也可以用矩阵来解这个方程组。你可能会说，这问题很简单啊，为什么还要用矩阵来解呢？整这么复杂有必要吗？别着急，这里我先卖个关子，具体我会在下一讲“矩阵篇”中进行讲解。

第二个例子是找出公司的最优生产计划。我们从公司的角度来看一看，假设生产苹果的几大主流产品：iPhone、Macbook、iMac，以及 iWatch 四款产品，需要用到芯片、摄像头模组、电池、IPS 屏幕四大类资源，产品分别用 N1​，N2​，N3​，N4​ 来表示，资源分别用 R1​，R2​，R3​，R4​ 来表示。

生产一单位的产品 N1​，也就是 iPhone，需要 a11​，a21​，a31​，a41​ 的资源，也就是芯片、摄像头模组、电池和 IPS 屏幕资源，其他产品也是一样。

我们的目标是在资源有限的情况下，找到一个最优生产计划，使每个产品的产出数量最大化。也就是说，在总共有 bi​ 个单位资源 Ri​ 可用情况下，每个产品 Ni​ 有多少单元 xi​ 应该被生产。因此，我们可以得到一个下面这样的线性方程组：

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+a14​x4​=b1​a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+a24​x4​=b2​a31​x1​+a32​x2​+a33​x3​+a34​x4​=b3​a41​x1​+a42​x2​+a43​x3​+a44​x4​=b4​​

于是，我们得到线性方程组的通用表达方式，x1​，⋯，xn​ 是未知变量，每个满足方程组表达式的 n 元组 (x1​，⋯，xn​) 都是它的解。

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=bm​​

线性方程组的解是有几何意义的，从几何角度出发，有利于你理解和记忆线性方程组解的条件，接下来我们先来看看线性方程组解的几种情况，之后我再具体讲解线性方程组的几何表达。

首先我们来看无解的情况。假设有下面这样一个线性方程组：

⎩⎨⎧​x1​+x2​+x3​=3x1​−x2​+2x3​=22x1​+3x3​=1​

第一行和第二行相加后，我们可以得到 2x1​+3x3​=5，很明显，这个方程和第三行是矛盾的，所以，这个线性方程组无解。

其次是只有一个解的情况。假设有下面这样一个线性方程组：

⎩⎨⎧​x1​+x2​+x3​=3x1​−x2​+2x3​=2x2​+x3​=2​

这个方程组求解很简单，第一行乘以 −1 和第二行相加得到 x1​=1 ，第一行和第二行相加，得到 2x1​+3x3​=5 ，代入 x1​ 后，得到 x3​=1，最后，我们可以得到 (1,1,1) 是这个线性方程组的唯一解。

最后是无穷解的情况。我们有下面这样一个线性方程组：

⎩⎨⎧​x1​+x2​+x3​=3x1​−x2​+2x3​=22x1​+3x3​=5​

方程组第一行和第二行相加等于第三行，从这个角度来说，我们就可以定义一个自由变量 x3​=a ，a 属于实数，那方程组的解就是：

(25​−23​a,21​+21​a,a)

其中 a 属于实数，所以，这就包含了无穷多个解。

线性方程组的几何表达

好了，了解了线性方程组解的三种情况，现在我们是时候从几何的角度来看一看线性方程组和它的解了，从几何意义出发有利于你更直观地理解线性方程组。

在一个只有两个变量 x1​,x2​ 的线性方程组中，我们定义一个 x1​,x2​ 平面。在这个平面中，每个线性方程都表达了一条直线。由于线性方程组的唯一解必须同时满足所有的等式，所以，线性方程组的唯一解其实就是线段的相交点，无穷解就是两线重合，而无解的情况，也就是两条线平行。

我拿一个例子来说明，设线性方程组：

{4x1​+4x2​=52x1​−4x2​=1​

把其中的两个线性方程在 x1​,x2​ 平面中画出来后，我们可以得到两线段的交点 (1,41​)，也就是这个线性方程组的解。

我再把这个概念延伸一下，当遇到三个变量的情况时，每个线性方程在三维空间中表达了一个平面，由于线性方程组的一个解必须同时满足所有的等式，所以，线性方程组的解其实就是平面，也可以是线、点或者空，空也就是没有共同的平面相交。

其实还有一个更好的方法来表达和解线性方程组，这个方法就是下一篇要讲的矩阵，在这里我先简单提一下。我们把系数组合成向量，把向量组合成矩阵，也就是说，我们可以把线性方程组写成这样的形式：

x1​∣∣∣∣∣∣∣​a11​⋮am1​​∣∣∣∣∣∣∣​+x2​∣∣∣∣∣∣∣​a12​⋮cm2​​∣∣∣∣∣∣∣​+⋯+xn​∣∣∣∣∣∣∣​a1n​⋮amn​​∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣​b1​⋮bm​​∣∣∣∣∣∣∣​

再进一步最终可以写成矩阵的形式：

⎣⎢⎢⎡​a11​a21​…am1​​a12​a22​…am2​​…………​a1n​a2n​…amn​​⎦⎥⎥⎤​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​x1​⋮.xn​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​b1​⋮.bm​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

本节小结

好了，到这里这一讲就结束了，我带你总结一下前面讲解的内容。

这节课我带你重新认识了代数和线性代数的概念。代数是构造一系列对象和一系列操作这些对象的规则，线性代数是向量，以及操作这些向量的规则，所以，线性代数是代数的具像化表达。从线性代数，我们引出了向量的基本概念，我带你看了一个和向量有关的所有概念，即线性代数所有核心内容的图。

可以说，线性代数的一切皆从向量而来。

最后，我带你从二维平面几何角度，更直观地观察线性方程组和它几种解的情况，而二维空间的线性方程组的解其实就是线、点或者空，也就是没有共同的线段相交。你也可以自己试着把它扩展到三维空间几何中来观察，或许会更有趣哦！

线性代数练习场

我们一起来看一个练习题。这是一道极其简单的初中线性方程组题，你可以回顾一下，也为下一节课做好铺垫。

李大叔去年承包了 10 亩地，种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元。其中甲蔬菜每亩获利 2000 元，乙蔬菜每亩获利 1500 元。

请问，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

欢迎在留言区晒出你的运算过程和结果。如果有收获，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友。