你好，我是朱维刚。欢迎你跟我一起重学线性代数！

在上一节课中，我讲解了线性方程组的另一种表达——矩阵。那么今天，我们就来讲解一下如何使用矩阵来解线性方程组，也就是如何求线性方程组的特殊解和通用解。

简单的线性方程组，我们当然可以运用初中学过的知识来求解，那复杂的呢？硬来几乎是不可能的了，一方面是因为人工计算的错误率很高，另一方面，即使我们使用计算机，用类似 for 或 while 循环来实现算法，它的计算效率也是极低的。你需要用更科学的方式、方法，从另一个角度来看待和求解线性方程组。

而矩阵就是为我们打开高效之门的钥匙，从计算机科学的角度来说，使用矩阵的运算效率实在是高太多了，因为它可以利用计算机的并行能力，甚至在一些迭代法中，还能实现分布式并行计算（迭代法会在后面“应用篇”中讲解）。

线性方程组解的寻找

现在，就让我们开始去寻找线性方程组的解。在之前的课程中，我们已经引入了线性方程组的一般表达，你可以看看下面的例子。

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=bm​​

其中，aij​ 和 bi​ 属于实数，而且是已知常数，而 xj​ 是未知变量，i 和 j 的取值范围分别是：i=1,…,m；j=1,…,n 。如果我们用矩阵的简单表达方式来看的话，就是 Ax=B。

要搞清楚概念，我们还是要多看具体的例子。让我们先来看一个实例，来加深一下理解。

[10​01​82​−412​]⎣⎢⎢⎡​x1​x2​x3​x4​​⎦⎥⎥⎤​=[428​]

很明显，这是一个矩阵表达方式，它的一般线性方程组表达方式是中学的基础知识，你应该很熟悉了。

{1×x1​+0×x2​+8×x3​+(−4)×x4​=420×x1​+1×x2​+2×x3​+12×x4​=8​

在这个一般线性方程组中，有四个未知变量，但只有两个等式，这就意味着这个线性方程组有无穷多个解（这个是中学数学的范畴）。通过细心观察，我们可以发现第一列和第二列都是由 0 和 1 组成的，因此你很容易就能发现其中一个解。

42[10​]+8[01​]=[428​]

这个解就是 [42​8​0​0​]T，也就是说四个未知变量分别为 42、8、0、0。

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x1​=42x2​=8x3​=0x4​=0​

这个解也叫做特殊解。我们刚才已经说过，这个线性方程组有无穷多个解，那我们确实需要一个聪明的方式来找到其他的解，最直观的方式就是通过矩阵的列来构造 0。例如，对于第三列来说，我们可以使用第一和第二列的组合形式来表达。

8[10​]+2[01​]=[82​]

通过计算 Ax=0，我们得出解 [8​2​−1​0​]T。而事实上，这个解可以乘以任何实数 λ1​，使得 Ax=0 成立。

[10​01​82​−412​]⎝⎜⎜⎛​λ1​⎣⎢⎢⎡​82−10​⎦⎥⎥⎤​​⎠⎟⎟⎞​=0

同理，对于第四列来说，我们可以使用第一和第二列的组合形式来表达，得出另一套解，使得 Ax=0。

[10​01​82​−412​]⎝⎜⎜⎛​λ2​⎣⎢⎢⎡​−4120−1​⎦⎥⎥⎤​​⎠⎟⎟⎞​=0

现在，我们可以把之前的特殊解与刚得出的两套解相组合，得出最终解，这个解也就是我们所说的通用解了。

x∈R4:x=⎣⎢⎢⎡​42800​⎦⎥⎥⎤​+λ1​⎣⎢⎢⎡​82−10​⎦⎥⎥⎤​+λ2​⎣⎢⎢⎡​−4120−1​⎦⎥⎥⎤​,λ1​,λ2​∈R

我来总结一下寻找通用解的过程，这个过程分为三步：

  1. 我们要寻找一个特殊解，使得 Ax=b；
  2. 找到 Ax=0 的所有解；
  3. 组合第一和第二步的解形成通用解。

看到了这里，你有没有发现有些奇怪呢？或者说，有没有觉得哪里有点别扭？是的，好像有点太顺利了。那是因为这个线性方程组比较特别，第一列和第二列是由 1 和 0 组成的。所以，我们只通过观察就能得出特殊解和通用解。

然而，你不可能每次都行大运，就像我们在现实中碰到的这类线性方程组，一般都比这个复杂得多。不过不要慌，有一个算法可以来帮助我们转换任意线性方程组，形成类似的特殊形式，这个算法叫做高斯消元法。

高斯消元法的核心就是线性方程组的初等变换，于是，我们可以通过高斯消元法，得到围绕初等变换形成的简单矩阵表达形式，接下来我们就可以运用之前的三个步骤来寻找通用解了。

初等变换的一般形式

既然高斯消元法的核心就是线性方程组的初等变换，那为了方便你使用高斯消元法，我就有必要来讲一讲初等变换的一般形式有哪些：

  1. 两个等式的交换，也就是矩阵行交换；
  2. 一个等式，或者说矩阵行乘以一个实数常量；
  3. 两个等式相加，或者说矩阵的两行相加。

道理是这样的道理，那我们通过一个例子来看看，究竟该怎么做线性方程组的初等变换。假设 a 属于实数，现在我们试着来寻找下面这个线性方程组的所有解。我把这个过程细细地拆解为 11 个步骤，建议你仔细看过并理解后，再进入下一阶段的学习。

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​−2x1​+4x2​−2x3​−x4​+4x5​=−34x1​−8x2​+3x3​−3x4​+x5​=2x1​−2x2​+x3​−x4​+x5​=0x1​−2x2​−3x4​+4x5​=a​

1. 我们要把这个线性方程组转换成矩阵的表达形式，Ax=b。

⎣⎢⎢⎡​−2411​4−8−2−2​−2310​−1−3−1−3​4114​∣∣∣∣​−320a​⎦⎥⎥⎤​

2. 接着我们来交换第一和第三行。

⎣⎢⎢⎡​14−21​−2−84−2​13−20​−1−3−1−3​1144​∣∣∣∣​02−3a​⎦⎥⎥⎤​

注意，你知道我们为什么选择第一行和第三行交换吗？其实，这是为了便于计算。而具体交换哪一行是有个小技巧的，如果某行的第一个元素有 1，我们就可以把这一行移到第一行。

3. 我们以第一行为基础，开始执行乘和加变换，将第一行乘以 -4 的结果和第二行相加，从而获得了下面这样的结果。

⎣⎢⎢⎡​10−21​−204−2​1−1−20​−11−1−3​1−344​∣∣∣∣​02−3a​⎦⎥⎥⎤​

4. 然后，我们用同样的方法，将第一行乘以 2 的结果，再和第三行相加，得到了下面这样的结果。

⎣⎢⎢⎡​1001​−200−2​1−100​−11−3−3​1−364​∣∣∣∣​02−3a​⎦⎥⎥⎤​

5. 以此类推，我们将第一行乘以 -1 的结果，和第四行相加，继续获得新矩阵。

⎣⎢⎢⎡​1000​−2000​1−10−1​−11−3−2​1−363​∣∣∣∣​02−3a​⎦⎥⎥⎤​

6. 将第二行乘以 -1 的结果，和第四行相加，得到下面这样的结果。

⎣⎢⎢⎡​1000​−2000​1−100​−11−3−3​1−366​∣∣∣∣​02−3a−2​⎦⎥⎥⎤​

7. 将第三行乘以 -1 的结果，和第四行相加。

⎣⎢⎢⎡​1000​−2000​1−100​−11−30​1−360​∣∣∣∣​02−3a+1​⎦⎥⎥⎤​

8. 第二行乘以 -1，第三行乘以 −31​。

⎣⎢⎢⎡​1000​−2000​1100​−1−110​13−20​∣∣∣∣​0−21a+1​⎦⎥⎥⎤​

9. 现在，这个矩阵就是一个简单形式的矩阵，也叫做行阶梯形矩阵（Row-Echelon Form，REF）。

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x1​−2x2​+x3​−x4​+x5​=0x3​−x4​+3x5​=−2x4​−2x5​=10=a+1​

一个矩阵成为行阶梯形矩阵需满足两个条件：

  1. 如果它既有零行，又有非零行，则零行在下，非零行在上；
  2. 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非零元素所在列号自上而下严格单调上升，正如之前的这个矩阵，列号自上而下是 1、3、4，是严格单调上升的。

10. 你可以看出，只有在 a=−1 的情况下，这个线性方程组才有解，特殊解是 [2​0​−1​1​0​]T。

11. 最后，我们得出这个线性方程组的通用解，如下图所示。

x∈R5:x=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​20−110​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​+λ1​⎣⎢⎢⎢⎢⎡​21000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​+λ2​⎣⎢⎢⎢⎢⎡​20−121​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​,λ1​,λ2​∈R

注意，这里有一个概念很重要，那就是主元。主元就是在矩阵消元过程中，每列要保留的非零元素，我们可以用它把该列其他元素消去。在阶梯型矩阵中，每个非零行第一个非零元素就是主元。

拿之前的第 8 步计算后的结果来举例，第一行的第一个元素 1 就是主元，第二行第三个元素 1 是主元，第三行的第四个元素 1 也是主元。

对应行阶梯形矩阵主元的变量叫做基本变量，而其他的变量叫做自由变量，这个例子中，x1​、x3​、x4​ 就是基本变量，x2​、x5​ 则是自由变量。使用行阶梯形矩阵能更简单地得出特殊解，所以我们可以使用主元列来表达线性方程组：

b=i=1∑P​λi​pi​,i=1,…,P

在之前的例子中，我们使用主元列来表达成下面这样的矩阵形式：

λ1​⎣⎢⎢⎡​1000​⎦⎥⎥⎤​+λ2​⎣⎢⎢⎡​1100​⎦⎥⎥⎤​+λ3​⎣⎢⎢⎡​−1−110​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​0−210​⎦⎥⎥⎤​

于是，我们最终得出 λ3​=1，λ2​=−1，λ1​=2 ，分别对应于 x4​、x3​、x1​。不要忘了，对于非主元列，我们已经隐式地把系数设置成了 0，所以这个线性方程组的特殊解是 x=[2​0​−1​1​0​]T。

简化行阶梯形矩阵

这里我们再引入一个概念，简化行阶梯形矩阵，因为引入简化行阶梯形矩阵对于线性方程组的求解来说会更简单。其实，高斯消元法的核心就是通过初等变换，把线性方程组转换成简化行阶梯形矩阵。那么一个方程组是简化行阶梯形矩阵，必须满足哪几个条件呢？

  1. 这个方程组必须是行阶梯形矩阵；
  2. 方程组的每一个主元都是 1；
  3. 主元在它的列中是唯一的非 0 元素。

现在，我们再通过一个实例，看看该如何通过高斯消元法计算一个矩阵的逆矩阵。设矩阵 A 如下图：

A=⎣⎢⎢⎡​1111​0121​2001​0011​⎦⎥⎥⎤​

首先，我们形成 A 的增广矩阵（具体方法参见上一节）。

⎣⎢⎢⎡​1111​0121​2001​0011​∣∣∣∣​1000​0100​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​

其次，使用我们前面刚刚讲过的高斯消元法计算出简化行阶梯形矩阵。

⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​0001​∣∣∣∣​−111−1​2−1−10​−221−1​2−2−12​⎦⎥⎥⎤​

最后，我们就得到 A 的逆矩阵，如下图所示。

A−1=⎣⎢⎢⎡​−111−1​2−1−10​−221−1​2−2−12​⎦⎥⎥⎤​

接下来，我们只要使用公式 AA−1=I 就可以对结果进行验证了。

更多解线性方程组的方法

到目前为止，相信你已经了解了如何解线性方程组，包括特殊解和通用解，以及如何使用高斯消元法来解线性方程组。最后，我再总结一些解方法来作为你的知识扩展。

第一个方法，假设一个矩阵 A 是方阵（行数与列数相等的矩阵），并且可逆，Ax=B ，那 x 解就可以写成 x=A−1B，但如果 A 矩阵不可逆，也不是方阵，那我们就只能使用下面这个变换来求 x 解了。

Ax=B⇔ATAx=ATB⇔x=(ATA)−1ATB

其中，矩阵 A 的转置矩阵和 A 相乘的逆矩阵，再和 A 的转置矩阵相乘，我们把它叫做穆尔彭罗斯伪逆矩阵（Moore-Penrose pseudo inverse），简称伪逆。

(ATA)−1AT

这个方法有两个弊端：第一，矩阵乘和逆矩阵的计算太复杂；第二，数值精确度不高。因此，从实践角度来说，我一般不推荐使用。

第二个方法是高斯消元法。高斯消元法是非常直观的，它在很多计算中都起到了关键的作用，比如：

  1. 计算行列式；
  2. 检查向量是否是线性独立的；
  3. 计算矩阵的逆矩阵；
  4. 计算矩阵的秩；
  5. 决定向量空间的基。

但当高斯消元法面对百万、千万级别的变量时，就捉襟见肘了。而这类级别的计算才是我们在实践中经常会遇到的，因此从实践角度来说，我也一般不推荐使用。因为高斯消元法属于直接法，直接法是经历有限次的运算得到方程组精确解的方法。但是，学习直接法是有意义的，虽然直接法在实际工作中不常用，但是它也能处理一些日常小问题，更重要的是，它稳固了我们进一步学习其它方法的基础。

我要讲的第三种方法，就是与直接法对应的间接法了。在实践中，线性方程组的求解都是间接的，也就是运用迭代法。

迭代法是采用极限过程，用线性方程组的近似解逐步逼近精确解的方法。所以，迭代法的关键在于每次迭代残余错误的减少，以及如何能够收敛到解。常见的迭代法有两类，定常迭代法（Stationary iterative method）和 Krylov 子空间方法（我会在应用篇中讲解）。

定常迭代法：理查德森迭代法（Richardson method）、雅可比方法（Jacobi method）、Gauß-Seidel 方法、逐次超松弛法（Successive over-relaxation method，简称 SOR）。

Krylov 子空间方法：共轭梯度法（Conjugate gradient）、广义极小残余算法（Generalized minimal residual）、双共轭梯度法（Biconjugate gradient）。

这里提到的几种迭代法都是在实践中比较常用的，也是计算机编程中经常实现的算法，但由于迭代法更多属于微分和极限领域，所以这里就不详细介绍了，我会在线性代数应用篇的“数值线性代数”那节课中再做讲解。

如果在课程内容结束后，你还有余力学习更多的内容，这里我先推荐两本书给你作参考，一本是《Introduction to Numerical Analysis》，另一本是《Linear Algebra》。这两本书里面都有进一步地讲解了线性方程组的迭代法求解的内容。

1.《Introduction to Numerical Analysis》

作者：Stoer, Josef, Bulirsch, R.

2002 年出版

2.《Linear Algebra》

作者：Liesen, Jörg, Mehrmann, Volker

2015 年出版

本节小结

好了，到这里解线性方程组这一讲就结束了，最后我再总结一下前面讲解的内容。

首先，我用一个简单的线性方程组，通过直接观察的方法来计算这个方程组的特殊解和通用解，接着通过实例详细地介绍了高斯消元法，最后我给出了一些在实践中常用的线性方程组解方法。只有弄清楚这些基础知识的本质，你才能更进一步，去了解其他计算方法。

线性方程组的求解已经成为了世界上最快计算机的测试标准，因为通过矩阵运算，计算机的并行计算能力暴露无遗。希望你能够在这些基础之上，阅读我推荐的两本书，并且把这些方法运用到实践中，特别是机器学习，因为机器学习也用到了很多迭代方法。

线性代数练习场

练习时刻到了，今天的练习题比较简单，请你用高斯消元法求下面的线性方程组。

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x1​+x2​−2x3​−x4​=−1x1​+5x2​−3x3​−2x4​=03x1​−x2​+x3​+4x4​=2−2x1​+2x2​+x3​−x4​=1​

欢迎在留言区和部落里晒出你的运算过程和结果，留下你的学习痕迹。如果你有所收获，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友。