你好，我是朱维刚。欢迎你跟我一起重学线性代数！

今天我们来聊一聊“线性空间”。在“基本概念”那一节课中，我讲到了向量，你也看到了，线性方程组是能够通过矩阵或向量来表达的。那为什么我们还要学习线性空间呢？

说到线性空间，其实你可以通过“空间”这个词把线性空间和我们的生活做个类比。就像我们生活在三维世界中，在这个空间中，一切物质都是运动的，而运动也是有一定规律的。这么来看的话，空间其实就是一个具有实际意义的集合，其中包含了对象和运动。

把这个理解平移到线性空间也是一样的，向量就是对象，如果把向量看成是线性空间中的点，那向量的变换就是点在空间中的运动。所以，线性空间也是一个集合，它的意义在于，赋予了向量生命和活力，只有掌握了线性空间，我们才能真正在实际运用中有的放矢。因为所有的活动都要在这个空间中发生，比如：线性空间中用到的傅立叶变换。

组

还是老样子，我们要先从学习线性空间会用到的基础知识开始讲起。

我们先来讲一下“组”，看一看组有什么性质。说到“组”，它其实是一个通用的概念，和线性空间没有什么关系，但我之所以要先说组，是因为组和空间是类似的，也是集合，性质也差不多，如果你了解了组，就更容易理解线性空间了。而且，组在计算机科学中是得到了广泛应用的，特别是在计算机密码学和图形图像处理中。

说了这么多，“组”到底是什么呢？组，其实就是包含一系列元素的集合，在对这些集合元素实施某类运算后，这个集合仍然保持着封闭性。可能这么说你会有些疑惑，我还是通过数学方法来定义组，可能会让你的思路更加清晰一些。

我们先来定义一个集合 G 和集合上的某一类运算，比如：乘 ⊗，使得 G⊗G 的结果还是属于 G，如果我们要 G:=(G,⊗) 是一个组，则需要满足以下这些条件：

1.G 在 ⊗ 运算中是封闭的，也就是：∀x,y∈G:x⊗y∈G。

2. 满足结合律，也就是：∀x,y,z∈G:(x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z)。

3. 恒等元素（或者叫做中性元素）e，满足：∃e∈G,∀x∈G:x⊗e=x,e⊗x=x，这里的恒等元素 e 在一般数字中你可以认为是 1，而在矩阵中就可以认为是单位矩阵。

4. 有 x 的逆元素 y，使得：∀e∈G,∃x∈G:x⊗y=e,y⊗x=e，其中 e 是恒等元素。

再补充一点，如果满足 ∀x,y∈G:x⊗y∈y⊗x，则 G:=(G,⊗) 就叫作交换组。

现在我们来做个测试，看看你是否理解了组的定义。

一个 n×n 的实数矩阵 A 和它的乘法运算是一个组吗？通过符号表达就是：(An×n,⋅)。

想要知道这个问题的答案，我们就需要用前面满足组的这几个条件来分析一下。

首先，是封闭性和结合律，从矩阵乘的定义就能直接看出来，它们是满足的；其次，我们来看恒等元素，单位矩阵就是矩阵元素，也满足组条件；最后，我们看看逆元素，假设 A 矩阵的逆矩阵 A−1 存在，那很明显，满足 AA−1=I，这里 I 就是恒等元素。

于是，我们可以说 (An×n,⋅) 是一个组，而矩阵乘不符合交换律，所以这个组并不是交换组。

向量空间

如果我们在“组”的基础上再扩展一下，就能够很顺利地来到“线性空间”。说起线性空间，它也叫作向量空间，它在一些书本和网络上的解释都是比较晦涩难懂的，但如果我们在“组”的基础上来解释它，你应该会比较容易理解了。

刚才我们说的组只包含了某一类运算，这类运算是在集合元素上的内部运算，我们把它定义为加 （+） 运算，现在再引入一类外部运算，标量乘 （⋅）。于是，你可以想象一下，我们可以把内部运算看成是加法，把外部运算看成是“缩放”，因为标量乘就是一个标量和向量相乘。如果从二维坐标系的角度来看一下，点 (1,1) 和标量 2 相乘就是 (2,2)，这个就是放大效果。

在通过“组”来认识向量空间后，再从数学角度去看向量空间的定义，你应该就能完全理解了。

一个实数向量空间 V 是一个集合，它包含了两类运算，一类是加，一类是标量乘，而且运算都满足 V 的封闭性，也就是说，V 中元素的运算结果还是属于 V。

+:V+V→V⋅:λ⋅V→V​

这个向量空间可以表示成 V:=(V,+,⋅)，其中：

1. 向量空间 V 的 (V,+) 是一个交换组。

2.V 满足分配律：∀λ∈R,x,y∈V:λ⋅(x+y)=λ⋅x+λ⋅y；以及 ∀λ,φ∈R,x∈V:(λ+φ)⋅x=λ⋅x+φ⋅x。

3.V 外部运算满足结合律：∀λ,φ∈R,x∈V:λ⋅(φ⋅x)=(λ⋅φ)⋅x。

4.V 外部运算的恒等元素满足：∀x∈V:1⋅x=x。

在向量空间 V 中的元素 x 是向量，向量空间加运算 (V,+) 的恒等元素是零向量 0=[0,​…​,0​]T。这里的加运算是内部运算，也叫做向量加，元素 λ 属于实数，叫做标量，外部运算乘 ⋅ 是标量乘。

好了，我给出了向量空间的一般描述和数学定义，如果你还是有一些不理解，也没有关系，我再举两个例子来加深你对向量空间的理解。

例 1：进一步理解向量加和标量乘

对于向量空间的向量加和标量乘：我们定义一个实数向量空间 Rn，n 表示向量元素：

  1. “加”定义为向量之间的加：x+y=(x1​,…,xn​)+(y1​,…,yn​)=(x1​+y1​,…,xn​+yn​)。加的结果还是属于向量空间 Rn。
  2. 标量乘就是向量乘标量：λx=λ(x1​,…,xn​)=(λx1​,…,λxn​)。

标量乘的结果还是属于向量空间 Rn。

例 2：进一步理解矩阵加和标量乘

对于向量空间的矩阵加和标量乘：我们定义一个实数向量空间 Rm×n，用 m×n 表示 m 行 n 列矩阵元素：

我们把“加”定义为矩阵之间的加。加的结果还是属于向量空间 Rm×n。

A+B=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​a11​+b11​⋅⋅⋅am1​+bm1​​……​a1n​+b1n​⋅⋅⋅amn​+bmn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

而标量乘就是矩阵乘标量。标量乘的结果还是属于向量空间 Rm×n。

λA=⎣⎢⎢⎡​λa11​⋅⋅λm1​​……​λa1n​⋅⋅λa˙mn​​⎦⎥⎥⎤​

到这里，相信你应该了解了向量空间的基本概念，接下来这一讲的重头戏就要来了，它就是向量子空间。

向量子空间

为什么说向量子空间是重头戏？那是因为它在机器学习中的地位相当重要，被用在了降维算法中。这里我会分两步来讲解，先讲向量子空间的基本概念，再通过一个机器学习的例子，能让你更了解它，并灵活运用在工作实践中。

什么是向量子空间？

从“子”这个字，我们可以很直观地想到，它是被包含在向量空间中的，事实也确实如此。

已知 V:=(V,+,⋅) 是一个向量空间，如果 U⊆V,U​=0，那么 U:=(U,+,⋅) 就是 V 的向量子空间，或者叫做线性子空间。向量子空间 U 自然继承 V 的许多属性，其中包括：交换组的属性、分配律、结合律和中性元素。除此以外，要判断 U 是不是向量子空间，我们还需要这两个条件：

1.U​=0，但 0∈U。

2. U 的封闭性满足外部运算：∀λ∈R,∀x∈U:λx∈U，同时满足内部运算：∀x,y∈U:x+y∈U。

介绍完向量子空间基本概念后，我们一起来通过一个例子来巩固一下所学的知识，看看你是否已经掌握了向量子空间。

请你观察下面列举的 A、B、C 三张图像，里面有 R2 的向量子空间吗？

这里我不会给出答案，你可以自己思考一下，友情提醒：A、B、C 中只有一个是向量子空间。

机器学习中的向量子空间

结合实践来看向量子空间的时候到了。在机器学习中，直接计算高维数据困难重重，一方面是数据处理和分析困难，使得数据可视化几乎不可能；另一方面是因为数据存储量太大，计算要付出的代价太高。

所以，我们要从向量空间中去除冗余数据，形成向量子空间。这样数据存储量就被极大地压缩了，处理和分析数据也简单了很多。因为高维数据中其实有很多维是冗余的，它们可以被其它维组合表示，也就是“降维”。

降维就是利用结构化和相关性，在尽量保证信息不损失的情况下，转换数据表现形式，让数据更“紧凑”。换句话说，你可以把降维看成是数据压缩技术，类似图像的 jpeg 和音频的 MP3 压缩算法。或者简单地说，降维就是将数据投射到一个低维子空间，比如：三维数据集可以降成二维，也就是把数据映射到平面上。

机器学习中运用最多的降维算法就是主成分分析，简称 PCA（Principal Component Analysis），也叫做卡尔胡宁 - 勒夫变换（Karhunen-Loeve Transform）。它是一种用于探索高维数据结构的技术，已经存在超过 100 年了，但至今仍然广泛被使用在数据压缩和可视化中。

我们来看一个例子：假设你负责的是机器学习算法，而你的应用场景是车辆的牌照识别，也就是 OCR（Optical Character Recognition）光学字符识别。在这个场景中，大街上的摄像头必须实时捕捉运动车辆的牌照，一旦发现问题车辆就需要快速识别牌照，并移交交警监管部门来做进一步处理。你会怎么处理呢？

牌照被拍下后就是图片，为了减小图像原始数据量，减少后续处理时的计算量，这些图片首先需要进行经过灰度处理（牌照只需要数字，不需要对彩色图像的 RGB 三个分量都进行处理），处理后就会变成类似这样的形式：

假定每个数字是一个 28∗28 尺寸的灰度图片，包含 784 个像素，那每张灰度数字图片就是一个向量，这个向量就有 784 个维度，可以表示成 x∈R784，而你的样本库少说也有几十万个样本数据，如果按一般的方法是不可能做到实时识别的。所以，这样的场景就需要使用 PCA 来压缩数据，进行大幅度降维。

这里我们简单一些，从二维的角度来看看 PCA。在 PCA 中，最关键的就是寻找数据点 xn​ 的相似低维投影 yn​，而 yn​ 就是子向量空间。

考虑 R2 和它的两个基，e1​=[1,0]T、e2​=[0,1]T，x∈R2 能够表示成这两个基的线性组合（“基”会在第 7 节课中详细介绍）。

[53​]=5e1​+3e2​

于是，相似低维投影 yn​ 就可以表示成下面这种形式。

yn​=[0z​]∈R2,z∈R

同时，yn​ 也可以写成这样的形式：yn​=0e1​+ze2​。

这里的 z 就是我们要找的值，而 yn​ 就是一个向量子空间 U，它的维度是一维。最后，我们再通过下图来更直观地说明一下 PCA 的过程。

图的左边是原始向量空间 x，经过压缩后，我们找到了子向量空间 z，z 经过重构后，形成了最终的向量空间 y，y 还是属于原来的向量空间，但 y 却拥有比 x 更低的维度表现。

从数学的角度看，我们其实就是在寻找 x 和 z 之间的线性关系，使得 z=BTx，以及 y=Bz，其中 B 是矩阵。如果我们从数据压缩技术方向来看就更容易理解了，图中的左边箭头是编码过程，也就是压缩，右边的箭头是解码过程，也就是映射，而矩阵 B 就是把属于 RM 向量空间的低维的 z，映射回原来的向量空间 RD。同理，矩阵 BT 就是把属于原来 RD 向量空间的高维 x 压缩成低维的 z。

本节小结

好了，到这里线性空间这一讲就结束了，最后我再总结一下前面讲解的内容。

今天的知识很重要，实践中都是围绕向量空间展开的，也就是说向量空间是实践的基本单位，你也一定要掌握子向量空间，因为现实中数据都是高维度的，从向量空间降维后找到子向量空间，这样就能大大提高数据运算和分析的效率。

再次特别提醒：这一讲非常重要，因为后面几讲都是围绕向量空间展开的，如果你哪里没看懂，一定要多看几次，确保完全明白了。有任何问题，你也可以随时在留言区向我提问。

线性代数练习场

之前我讲了一个现实的向量空间降维场景：车辆的牌照识别，这里，我们通过另一个现实场景，来练习一下向量空间降维的思维。

目前市场上语音识别的应用有很多，比如：天猫精灵、苹果 Siri、小爱等等，而语音识别涉及的技术有很多，有语言建模、声学建模、语音信号处理等等。在语音信号处理中，语音声波通过空气传播，并被麦克风捕获，麦克风将压力波转换为可捕获的电活动。我们对电活动进行采样，用以创建描述信号的一系列波形采样。

采样是数据收集的过程，数据收集后需要做数据预处理，而预处理的关键一步就是特征提取，现在请你从“特征提取”的方向上思考下，有哪些和目前所学到的数学知识有关？

友情提醒：特征提取就是数字化过程，也是向量化后形成向量空间的过程。

欢迎在留言区写出你的思考，我会及时回复。如果有收获，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友。