你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我们要讲的内容是“线性映射”。

前面我们学的内容都是局限在一个线性空间，或者说一个向量空间中，但今天不一样哦，我们要来看看两个向量空间之间的关系，也就是线性映射。

之前我说过，向量也是对象，是能够相加，能够被标量乘的对象，而且这样计算的结果还是向量。而加和标量乘这样的运算同样适用线性映射。比如：两个实数向量空间 V 和 W，有一个函数 ϕ 来完成向量空间 V 到 W 的映射，如果我们想要同时保持向量空间结构不变，那么 ϕ 就要满足：

ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y)ϕ(λx)=λϕ(x)​

其中，所有 x 和 y 属于向量空间 V， λ 属于实数。于是，我们得到了线性映射的定义。

线性映射定义

假设有两个向量空间 V 和 W，ϕ 是一个函数，它完成了向量空间 V 到 W 的线性映射，那么线性映射必须满足等式：

ϕ(λx+φy)=λϕ(x)+φϕ(y)

其中，任意 x 和 y 都属于向量空间 V，而任意 λ 和 φ 都属于实数。

当然，我们能把线性映射表示成矩阵，也就是线性映射矩阵，或者叫做变换矩阵。但因为向量还能组合成矩阵的列，所以我们要特别注意区分矩阵表示的是线性映射还是向量的集合。向量的集合是静态的，而变换矩阵则是动态的哦。

接下来我们再来看看两个任意集合 V 到 W 的三类特殊映射，了解一下函数 ϕ 在不一样的情况下究竟表达了怎样的关系。

  1. 函数 ϕ 是单射（Injective）时：如果 ϕ(x)=ϕ(y) ，那么 x=y ，其中任意 x 和 y 都属于集合 V，从图中可以看出它表达的是一对一的关系，也就是我们可以由集合 V 的一个元素唯一确定一个集合 W 的元素。

  1. 函数 ϕ 是满射（Surjective）：也就是满足等式 ϕ(V)=W，从图中我们可以看出它表达的是多对一的关系，也就是多个集合 V 的元素能够确定一个集合 W 的元素。

  1. 函数 ϕ 是双射（Bijective），就意味着它既是单射又是满射，从图中我们可以看出，它表达的是，所有 V 集合的元素都和 W 集合的元素一一对应，不多不少。

通过这些定义，我们就可以引入几个线性映射的特殊概念了。

  1. 同构（Isomorphism）：即函数 ϕ 使 V 到 W 是线性且双射的；
  2. 自同态（Endomorphism）：即函数 ϕ 使 V 到 V 是线性的；
  3. 自同构（Automorphism）：即函数 ϕ 使 V 到 V 是线性且双射的；
  4. 把 V 到 V，元素 x 到 x 的映射定义为恒等映射。

那么，为什么你需要了解这几个特殊的概念呢？那是因为我们需要通过这些概念引出一个定理：有限维度的向量空间 V 和 W，如果它们的维度相等，那么它们就是同构的。那就是说，同一维度的向量空间某种程度来说是一样的，因为它们能在没有发生损失的条件下互相转换。

比如，Rm×n 矩阵向量空间，和 Rmn 长度是 mn 的向量空间，我们可以认为它们是相同的，因为它们维度都是 mn，而且存在一个线性映射和双射使得它们能互相转换。还记得在矩阵那节课中，我提到的矩阵转换吗？很多时候这类转换就是为了计算方便。

线性映射的矩阵表示

刚才提到了线性映射的矩阵表达，那在了解了线性映射的定义后，现在是时候来具体看一看这个更直观，且有实践意义的表达了。之所以说它有实践意义，那是因为我们赋予了它动态特性，让矩阵表示线性变换的过程。

如果存在一个 n 维向量空间 V 和它的一个有序基 B=(b1​,⋯,bn​)，那么对于任意一个属于 V 的 x，我们能得到一个这样的线性组合：x=α1​b1​+⋯+αn​bn​，我们可以说

α=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​α1​⋅⋅⋅αn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

是 x 的坐标向量或坐标表达。

我们都了解二维直角坐标系，现在我们通过一个例子，看看一个同样的向量在两个不同坐标系中的表示，加深一下你对线性映射的理解。

假设图中绿色是坐标系 V，黄色是坐标系 W。

在 V 中，e1​ 和 e2​ 是 V 的标准基，向量 x 由线性组合 e1​ 和 e2​ 表示，x 的坐标是 (2,2)，于是，x 在 V 中可以被表示成：x=2e1​+2e2​。

在 W 中，b1​ 和 b2​ 是 W 的标准基，向量 x 由线性组合 b1​ 和 b2​ 表示，而这里的 x 坐标就不同了，变成了 (1.09,0.72)，于是，x 在 W 中可以被表示成：x=1.09b1​+0.72b2​。

说到这，你是不是对线性映射有了一个更直观的感受？现在我们就把矩阵引入到线性映射中，于是，我们就有了变换矩阵，也就是用矩阵表示线性变换的过程。

变换矩阵的定义是：我们有向量空间 V 和 W，它们各自有相应的有序基 B=(b1​,⋯,bn​) 和 C=(c1​,⋯,cn​) ，而 ϕ 就是 V 到 W 的线性映射：ϕ(bj​)=α1j​c1​+⋯+αmj​cm​。

线性映射 ϕ 中的 j 是从 1 到 n，于是，我们就能得到一个 ϕ 的 m×n 的变换矩阵 Aϕ​，这个变换矩阵中的元素是 Aϕ​(i,j)=αij​，也就是说，ϕ(bj​) 的坐标就是 Aϕ​ 的第 j 列。

我们可以来简化一下表达，把它表示成这样： y=Aϕ​(x)。其中，x 是 V 基于 B 基的坐标向量，y 是 W 基于 C 基的坐标向量。所以，变换矩阵可以被用来在有序基上，映射坐标。

我们来看一个变换矩阵例子：已知两个向量空间 V 和 W，它们各自相应的有序基是 B=(b1​,⋯,b3​) 和 C=(c1​,⋯,c4​) ，线性映射 ϕ 表示成以下形式。

ϕ(b1​)=c1​−c2​+3c3​−c4​ϕ(b2​)=2c1​+c2​+7c3​+2c4​ϕ(b3​)=3c2​+c3​+4c4​​

于是，我们可以通过这些条件得到变换矩阵 Aϕ​ 如下。

Aϕ​=⎣⎢⎢⎡​1−13−1​2172​0314​⎦⎥⎥⎤​

理解到这里还不算透彻，我们要更进一步，看看在现实图形图像处理中的线性变换是什么样的。接下来我们通过下面三个图形的例子来理解一下。

第一个图形是原始数据，你可以把它看成是由几百个向量的密集点组成的图。

第二个图形的效果看起来很简单，是由原始数据经过 45 度变换后得到的，它的变换矩阵是下面这样的。

A1​=[cos(4π​)sin(4π​)​−sin(4π​)cos(4π​)​]

第三个图形是原始数据沿平行轴拉伸两倍的效果，变换矩阵是下面这样的。

A2​=[20​01​]

当然，这三个图形是比较简单的例子，是为了方便你理解，其实我们还能做更复杂的变换，比如：旋转、伸缩的组合等等。

基的改变

之前我们讨论的线性映射都是在基是一定的情况下，通过变换矩阵做线性映射。那如果基改变了呢？讨论基的改变在实践中也是有重要意义的。比如，为了最小化数据压缩损失，我们需要找到一个合适的被用来数据投影的基。

现在我们就来看看，如果我们改变向量空间 V 和 W 的基，线性映射 ϕ 的变换矩阵会如何改变。我们给向量空间 V 和 W 各自增加两个有序基：B=(b~1​,…,bn​) 和 C=(c~1​,…,cm​)，而 A~ϕ​ 是基于新的有序基的变换矩阵。这样，A~ϕ​ 变换矩阵的计算公式就是：A~ϕ​=T−1Aϕ​S。

在这个新的公式中，S 是 Rn×n 向量空间 V 的恒等映射变换矩阵，向量空间 V 的恒等映射把基于 B 的坐标，映射到基于 B 的坐标上。同理，T 是 Rm×m 向量空间 W 的恒等映射变换矩阵，向量空间 W 的恒等映射把基于 C 的坐标，映射到基于 C 的坐标上。

理论是这样的，那我们还是要通过一个例子来看一下，基改变后，新的线性映射 ϕ 的变换矩阵到底是如何获取的。我们已知，一个三维实数向量空间 R3 到四维实数向量空间 R4 的一个线性映射，它们各自有标准基 B 和 C。

B=⎩⎨⎧​⎣⎡​100​⎦⎤​,⎣⎡​010​⎦⎤​,⎣⎡​001​⎦⎤​⎭⎬⎫​,C=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​⎣⎢⎢⎡​1000​⎦⎥⎥⎤​,⎣⎢⎢⎡​0100​⎦⎥⎥⎤​,⎣⎢⎢⎡​0010​⎦⎥⎥⎤​,⎣⎢⎢⎡​0001​⎦⎥⎥⎤​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​

基于它们各自的标准基 B 和 C，它的变换矩阵是：

Aϕ​=⎣⎢⎢⎡​1−13−1​2172​0314​⎦⎥⎥⎤​

那么现在，我们来看一下，基 B 和 C 改变为 B 和 C 之后，会有怎样的变化。

B=⎩⎨⎧​⎣⎡​110​⎦⎤​,⎣⎡​011​⎦⎤​,⎣⎡​101​⎦⎤​⎭⎬⎫​,C=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​⎣⎢⎢⎡​1100​⎦⎥⎥⎤​,⎣⎢⎢⎡​1010​⎦⎥⎥⎤​,⎣⎢⎢⎡​0110​⎦⎥⎥⎤​,⎣⎢⎢⎡​1001​⎦⎥⎥⎤​⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫​

对于新基 B 和 C，我们得到 S 和 T：

S=⎣⎡​110​011​101​⎦⎤​,T=⎣⎢⎢⎡​1100​1010​0110​1001​⎦⎥⎥⎤​

于是，我们就可以通过公式得到想要的 A~ϕ​ 了。

A~ϕ​=T−1Aϕ​S=⎣⎢⎢⎡​−4641​−4086​−2043​⎦⎥⎥⎤​

两个重要的子空间

最后，我再来讲两个重要的子空间——核空间和像空间，说它们重要是有原因的。核空间可以帮助我们研究线性方程组的性质，同时还可以帮助我们把复杂问题简化，也就是将复杂的大集合分解成小集合的并来研究。而像空间可以帮助我们快速得到线性方程组的秩，这样就能快速判断线性方程组解的情况。现在我们来具体了解一下。

核空间

核空间也叫做零空间，你还记得 Ax=b 吗？核空间关注的就是 Ax=0，也就是向量空间 V 中所有经过 ϕ 映射为零的向量集合，用符号表示就是：ker(ϕ) 。核的维数叫做零化度（nullity），表示成：dim(ker(ϕ))。

像空间

向量空间 V 中所有经过 ϕ 映射后的向量集合，叫做像空间，用符号表示就是：im(ϕ)，像空间维数就是秩，表示成：rk(ϕ)。

通过图形表达出来，你应该能够更好地理解。

最后我以一个定理来结束本节的内容，秩 - 零化度定理：V 的维数等于核空间维数与像空间维数之和 dim(V)=dim(ker(ϕ))+rk(ϕ)。

本节小结

好了，到这里线性映射这一讲就结束了，最后我再总结一下前面讲解的内容。

线性映射赋予了线性代数灵魂，也让它在计算机科学中发挥了很大的作用。线性映射的矩阵变换是这一节的重点，你要牢固掌握，因为它在无数现实场景中都在使用，比如：三维图形图像处理中的线性变换，图形的伸缩、旋转等等。

线性代数练习场

好，今天练习时刻到了，刚刚我们通过图形图像处理中的线性变换的例子，讲了矩阵变换。现在我们还是以这个例子为基础，不过这一次轮到你来解答问题了。如果我们把原始数据整体沿平行轴收缩两倍，那变换矩阵会是怎样的呢？

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