你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我要讲的内容是“如何通过矩阵转换让 3D 图形显示到二维屏幕上”。

在第八篇的线性映射中，我从二维直角坐标系的角度，讲解了线性映射和变换矩阵。其中，我特别讲到了，二维平面图形图像处理中的线性变换，比如物体的拉伸和旋转。在第九篇的仿射空间中，更是提到了 3D 的平移矩阵、缩放矩阵和旋转矩阵。

而这一篇则有些不一样，我会从更实践的角度，让你了解到二维平面和三维空间的变换，以及 3D 图形是如何显示到二维屏幕上的。矩阵在这里扮演的角色可以说是功不可没，接下来我们一起来看下矩阵到底是怎么做到的。

三维空间变换

我们都知道，计算机图形图像处理的是图片，且计算机屏幕是二维的。那你有没有想过，我们在屏幕上看到的静态和动态三维世界到底是怎么回事呢？这个就要涉及到三维到二维的投影技术了，这类技术都离不开矩阵，而且是超大规模矩阵运算。

三维空间的变换依赖于 4×4 矩阵，可能你会想，为什么不是 3×3 呢？这是因为四个关键运算中有一个无法用 3×3 矩阵来完成，其他三个运算为了统一也就都采用 4×4 矩阵了，这四个关键运算是：

  1. 平移；
  2. 缩放；
  3. 旋转；
  4. 投影。

平移就是那个无法用 3×3 矩阵来完成的特殊运算，也是看起来最简单的运算，只是每个点都加上向量 v0​，也就是点 (x0​,y0​,z0​)。

但是，你别被这个假象欺骗了，平移这个运算是非线性的。这一点只需要看平移前各点与原点的连线，以及平移后各点与原点之间的连线就知道了。或者，你也可以从公式的角度理解，就是 f(a+b) 不等于 f(a)+f(b)。而为了表示平移，以及现实世界的描述，就需要使用第九篇中说的仿射空间。所以，3×3 矩阵是无法平移原点的。

但是，如果我们把原点坐标变成 (0,0,0,1)，那就能解决平移的问题了。点 (x,y,z) 的齐次坐标就是 (x,y,z,1)，这就变成了 4×4 矩阵。接下来，我分别介绍这四个关键运算，它们是 3D 图形显示在屏幕上的第一步，也就是坐标系变换要做的事情，比如：将一个点从局部坐标系变换到世界坐标系是通过平移、缩放及旋转矩阵进行的。

平移

我们沿着向量 v0​ 平移整个三维空间，把原点平移到了 (x0​,y0​,z0​)，这也就意味着三维空间的每个点都加上了点 (x0​,y0​,z0​)。使用齐次坐标，把整个空间平移了 v0​ 的 4×4 矩阵 T 如下所示。

T=⎣⎢⎢⎡​100x0​​010y0​​001z0​​0001​⎦⎥⎥⎤​

这里很重要的一点是，计算机图形图像是基于行向量计算的。也就是说，计算方法是行乘矩阵，而不是矩阵乘列，比如：[0​0​0​1​]T=[x0​​y0​​z0​​1​]。

平移的整个过程是这样的：假设要把原来的某个点 (x,y,z) 平移 v0​，我们需要切换到齐次坐标 (x,y,z,1)，然后，(x,y,z,1) 再乘 T，就能得到每个原来的向量 v 平移到 v+v0​ 的最终结果：[x​y​z​1​]T=[x+x0​​y+y0​​z+z0​​1​]。

这里你需要注意：一个行向量乘 T 的结果还是一个行向量。

缩放

在前端开发中，我们经常会调整图片宽度和高度来适配页面，比如：把图片整体放大 90%，那么在线性代数中就是 0.9 乘单位矩阵。在二维平面中，我们通常用 2×2 矩阵来表达缩放，在三维立体中则是 3×3 矩阵。而在计算机图形图像的齐次坐标中，就不一样了，需要大一个维度，也就是说，3×3 矩阵变成了 4×4 矩阵。

比如，二维平面中图片放大 90% 就是：

S=⎣⎡​0.900​00.90​001​⎦⎤​

三维立体中图片放大 90% 就是：

S=⎣⎢⎢⎡​0.9000​00.900​000.90​0001​⎦⎥⎥⎤​

缩放还可以在不同的方向上进行，比如：一个二维平面图片从整页适配调整到半页适配，y 方向就要乘 21​，创建一个 41​ 的页边留白，x 方向就要乘 43​，这样得到的缩放矩阵就是：

S=⎣⎡​43​00​021​0​001​⎦⎤​

平移和缩放组合情况会怎样呢？如果我们要先平移再缩放，那应该这样乘：vTS，如果我们要先缩放再平移，那应该这样乘：vST。注意：它们乘的顺序是不同的，哪个运算先做就先乘，因为矩阵的左乘和右乘的结果是不同的。

在第九篇的仿射空间中提到了平移和缩放矩阵，你也可以回过头再去看看。

旋转

二维和三维空间的旋转由正交矩阵 Q 来完成，它的行列式是 +1。同样我们使用齐次坐标，一个平面旋转的正交矩阵 Q 就从 2×2 就变成了 3×3 矩阵 R。

Q=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]

R=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​

这个矩阵是围绕原点旋转了平面，那如果矩阵旋转时围绕的不是原点，而是其他点呢？这个就稍微复杂一些，不是直接旋转，而是先平移再旋转，比如我们要围绕点 (4,5)，让平面旋转 θ 角度的话：

  1. 首先，要把 (4,5) 平移到 (0,0)；
  2. 接着，旋转 θ 角度；
  3. 最后，再把 (0,0) 平移回 (4,5)。

整个过程通过数学公式来表达就是：

vT00​RT45​=[x​y​1​]⎣⎡​10−4​01−5​001​⎦⎤​⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​104​015​001​⎦⎤​

说完二维我们再来说三维。不过在三维空间中，旋转就有些不一样了，因为它是围绕一个轴“翻转”的。更“数学”的说法就是，围绕 λ=1 的特征向量的一条线翻转。

现在，我们来看看分别围绕 x、y 和 z 轴方向旋转的矩阵 R 有什么不同？

1. 围绕 x 轴方向旋转：

Rx​=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​

2. 围绕 y 轴方向旋转：

Ry​=⎣⎢⎢⎡​cosθ0−sinθ0​0100​sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​

3. 围绕 z 轴方向旋转：

Rz​=⎣⎢⎢⎡​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​

你看出来哪里不同了吗？其实主要就是 1 的位置不同，以及 y 轴方向旋转的 sin 互换了。

投影

现在，我们想把 3D 图形显示到二维屏幕上，该怎么做呢？

从数学角度理解就是把三维向量投影到平面上。在线性代数中，我们看到的大部分的平面都是通过原点的，但在现实生活中则不是。一个通过原点的平面是一个向量空间，而其他的平面则是仿射空间，具体仿射空间的定义你可以回顾一下第九篇的内容。

我们先来看看平面通过原点的情况。假设一个通过原点的平面，它的单位法向量是 n，那么平面中的向量 v，满足这个等式：nTv=0。

而投影到平面的投影矩阵是：I−nnT。

如果把原来的向量和这个投影矩阵相乘，就能投影这个向量。我们可以用这个投影矩阵来验证一下：单位法向量 n 投影后成为了 0 向量，而平面向量 v 投影后还是其自身。

(I−nnT)n=n−n(nTn)=0

(I−nnT)v=v−n(nTv)=v

接下来，我们在齐次坐标中来看一下 4×4 的投影矩阵：

P=⎣⎢⎢⎡​0​I−nnT0​0​0001​⎦⎥⎥⎤​

假设现在有一个不过原点的平面，v0​ 是这个平面上的一个点，现在要把 v0​ 投影到这个平面，则需要经历三个步骤，和刚才介绍的围绕点 (4,5)，让平面旋转 θ 角度经历的三个步骤类似：

  1. 把 v0​ 平移到原点；
  2. 沿着 n 方向投影；
  3. 再平移回 v0​。

整个过程通过数学公式来表达就是：

T−v0​​PT+v0​​=[I−v0​​01​][I−nnT0​01​][Iv0​​01​]

计算机 3D 图形介绍

有了数学知识的铺垫，我们再来看计算机 3D 图形显示到二维屏幕上的过程。在 3D 环境中，三维物体从取景到屏幕显示，需要经历一系列的坐标变换（又称为空间变换），才能生成二维图像显示在输出设备上。

将一个 3D 物体显示出来需要经历三个步骤，其中，第一步，也是最重要的一步就是坐标系变换，将局部坐标系表示的点变换到世界坐标系中，然后再变换到视图坐标系（或叫摄像机坐标系），接着继续变换到裁剪坐标系（投影坐标系）。

  1. 将一个点从局部坐标系变换到世界坐标系是通过平移、缩放及旋转矩阵进行的。
  2. 如果将世界坐标系中的一个点变换到视图坐标系（摄像机坐标系），则可以使用视图矩阵进行操作。视图矩阵我们这里没有详细说明，它有个相对复杂的推导过程的，感兴趣的同学可以参考我后面推荐的两本书。
  3. 如果将视图坐标系（摄像机坐标系）中的一个点变换到裁剪坐标系（投影坐标系），则可以使用投影矩阵进行操作。

最后，我推荐两本非常好的书作为你继续研究计算机 3D 图形的参考。

《TypeScript 图形渲染实战：基于 WebGL 的 3D 架构与实现》，作者：步磊峰，这本书描述了 3D 图形处理的基本数学知识的同时，更注重 WebGL 框架下的图形渲染实战。

《Computer Graphics: Principles and Practice (3rd Edition)》，作者：Hughes, Van Dam, McGuire, Skylar, Foley, Feiner, Akeley，这本书虽然也有实践，但更偏重计算机图形理论一些。

本节小结

今天的整篇内容都是围绕三维空间的变换展开的，你需要掌握三维空间中的四个关键运算：平移、缩放、旋转和投影的基本概念，以及对应的平移、缩放、旋转和投影矩阵，这些都是继续深入学习计算机 3D 图形处理的数学基础。

因为在 3D 环境中，三维物体从取景到屏幕显示，需要经历一系列的坐标变换，才能生成二维图像显示在输出设备上。了解了这些之后，你就能掌握计算机 3D 图形处理的本质，也许还能在将来的实践中优化图形渲染效率。

线性代数练习场

今天我要给你一道开放题：如果把正方形投影到一个平面上，你会得到一个什么形状的图形？

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