你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数，今天我要讲的内容是“数值线性代数的迭代法，以及如何在实践中运用迭代法求解线性方程组”。

大密度线性方程组的计算已经成为了世界上最快计算机的测试标准。2008 年，IBM 为美国能源部 Los Alamos 国家实验室建造了“Roadrunner”计算机系统，它的运算速度达到了 1.026 petaflop/s（千万亿次 / 秒，petaflop 是衡量计算机性能的一个重要单位，1 petaflop 等于每秒钟进行 1 千万亿次的数学运算）。按摩尔定律计算，现在世界上最快的计算机已经达到了 200 petaflop，我国也早就进入了世界前列，并有望实现 1 exaflop/s（百亿亿次 / 秒），成为世界第一。

可能你会有些疑惑，为什么我要在课程后期来讲数值线性代数呢？

那是因为数值线性代数是一门特殊的学科，是特别为计算机上进行线性代数计算服务的，可以说它是研究矩阵运算算法的学科，偏向算法实践与工程设计。有了之前基础知识的铺垫后，学习数值线性代数会更有效，而且它是可以直接运用在计算机科学中的，比如：在图像压缩中，使用奇异值分解（SVD）来节省内存；在深度学习中，使用共轭梯度来加速神经网络的收敛。

迭代方法说明

课程内容的前期一直都在用直接法来解线性方程组，比如高斯消元法。但在实践中，我们在面对复杂场景时，更多的会使用迭代法来求解（也就是所谓的间接法），因为很多场景会用到大型稀疏矩阵。所以，我打算在这里讲讲机器学习中的迭代法应用。这里需要注意，不是说直接法不重要，直接法解决了许多相对简单的问题，也是其他方法的基础。

现在我就来说一说什么是迭代法？

我们还是通过线性方程组 Ax=b 来看看。在这里我们分解 A，使得 A=S−T，代入等式后得出：Sx=Tx+b（等式①）。

按这样的方式持续下去，通过迭代的方式来解 Sx。这就类似于把复杂问题层层分解和简化，最终使得这个迭代等式成立：Sxk+1​=Txk​+b（等式②）。

更具体一点来说，我们其实是从 x0​ 开始，解 Sx1​=Tx0​+b。然后，继续解 Sx2​=Tx1​+b。一直到 xk+1​ 非常接近 xk​ 时，又或者说残余值 rk​=b−Axk​ 接近 0 时，迭代停止。由于线性方程组的复杂程度不同，这个过程经历几百次的迭代都是有可能的。所以，迭代法的目标就是比消元法更快速地逼近真实解。

那么究竟应该如何快速地逼近真实解呢？

这里，A=S−T，A 的分解成了关键，也就是说 A 的分解目标是每步的运算速度和收敛速度都要快。每步的运算速度取决于 S，而收敛速度取决于“错误”(error)，ek​，这里的错误 ek​ 是 x−xk​，也就是说 x 和 xk​ 的差应该快速逼近 0，我们把错误表示成这样：ek+1​=S−1Tek​（等式③）。

它是等式②和①差后得出的结果，迭代的每一步里，错误都会被 S−1T 乘，如果 S−1T 越小，那逼近 0 的速度就更快。在极端分解情况下，S=A，T=0，那 Ax=b 又回来了，第一次迭代就能完成收敛，其中 S−1T 等于 0。

但是，这一次迭代的成本太高，我们回到了非迭代方式的原点。所以，你也知道，鱼和熊掌不能兼得，S 的选择成为了关键。那我们要如何在每一次迭代的速度和快速收敛之间做出平衡呢？我给你 S 选择的几种常见方法：

  1. 雅可比方法（Jacobi method）：S 取 A 的对角部分。
  2. 高斯 - 赛德尔方法（Gauss-Seidel）：S 取 A 的下三角部分，包含对角。
  3. ILU 方法（Incomplete LU）：S=L 估计乘 U 估计。

雅可比方法实践

总体介绍了迭代法理论之后，我们就进入迭代法运用的实践环节。

首先，我们先来试试使用雅可比方法解线性方程组，雅克比迭代法是众多迭代法中比较早且较简单的一种。所以，作为迭代法的实践开篇比较合适。让我们设一个 2×2 的线性方程组：

Ax=b

{2u−v=4−u+2v=−2​

我们很容易就能得出这个方程组的解如下。

[uv​]=[20​]

现在我们就用雅可比方法来看看怎么解这个方程组：

首先，我们把线性方程组转换成矩阵形式。

[2−1​−12​]=[4−2​]

接着，把 A 的对角线放在等式左边，得出 S 矩阵。

S=[20​02​]

其余部分移到等式右边，得出 T 矩阵。

T=[01​10​]

于是，雅可比迭代就可以表示成下面这样的形式。

Sxk+1​=Txk​+b

{2uk+1​=vk​+42vk+1​=uk​−2​

现在是时候进行迭代了，我们从 u0​=v0​=0 开始。

[u0​v0​​]=[00​]

第一次迭代后，我们得到：

[u1​v1​​]=[2−1​]

第二次迭代后得到：

[u2​v2​​]=[23​0​]

第三次迭代后得到：

[u3​v3​​]=[2−41​​]

第四次迭代后得到：

[u4​v4​​]=[815​0​]

第五次迭代后，我们得到：

[u5​v5​​]=[2−161​​]

经过五次迭代后发现收敛，因为它的结果接近真实解。

真实解[20​]

现在，再来看一下错误等式，$\mathrm{Se}{k+1}=T e{k}，我们把S和T$ 代入等式，得出：

[20​02​]ek+1​=[01​10​]ek​

计算 S 的逆矩阵和 T 相乘 S−1T 得出：

ek+1​=[021​​21​0​]ek​

这里，S 的逆矩阵和 T 相乘 S−1T 有特征值 21​ 和 −21​，所以，它的谱半径是 ρ(B)=21​。这里的谱半径是用来控制收敛的，所以非常重要。谱半径从数学定义上是：矩阵（或者有界线性算子的谱半径）是指其特征值绝对值集合的上确界。这个概念是不是很难理解？具体谱半径的概念你可以查互联网来获取，为了方便你理解，这里我还是用数学方法来简单表达一下。

B=S−1T=[021​​21​0​]

通过 S 的逆矩阵和 T 相乘 S−1T，我们得到：∣λ∣max​=21​，以及：

[021​​21​0​]2=[41​0​041​​]

这里的特征值 21​ 非常小，所以 10 次迭代后，错误就很低了，即 2110​=10241​。而如果特征值是 0.99 或者 0.999，那很显然迭代次数就要多得多，也就是说需要更多时间来做运算。

高斯 - 赛德尔方法实践

现在我们再来看下高斯 - 赛德尔方法，高斯 - 赛德尔迭代可以节约存储和加速迭代，每迭代一次只需一组存储单元，而雅可比迭代需要两组单元。

S 取 A 的下三角部分，还是使用之前雅可比方法中的例子，我们得出方程组：

{uk+1​=21​vk​+2vk+1​=21​uk+1​−1​

这里有一个比较大的变化，那就是 uk​ 消失了，通过 vk​，我们可以直接得到 uk+1​ 和 vk+1​，这样有什么好处呢？两大好处是显而易见的，就是节约存储和加速迭代。

接下来，我们从 u0​=0，v0​=−1 来测试一下迭代。

第一次迭代后，我们得到：

[u1​v1​​]=[23​4−1​​]

第二次迭代后得到：

[u2​v2​​]=[815​16−1​​]

第三次迭代后得到：

[u3​v3​​]=[3263​−641​​]

经过三次迭代后发现收敛，因为第三次迭代后的结果接近真实解。

错误经过计算分别是 −1,4−1​,16−1​,64−1​，和刚才使用雅可比方法得出的错误 2,21​,81​,321​。比较后我们可以发现，无论是迭代次数还是收敛速度方面，高斯 - 赛德尔方法比雅可比方法速度快、精确度也高得多。

逐次超松弛方法

最后，我们在高斯 - 赛德尔方法上做个小调整，在迭代中引入一个参数“omega”，ω，即超松弛因子。然后选择一个合适的 ω，使得 S−1T 的谱半径尽可能小，这个方法就叫做逐次超松弛方法（Successive over-relaxation method，简称 SOR）。

SOR 方法的方程是：ωAx=ωb，矩阵 S 有 A 的对角线，对角线下是 ωA，等式右边 T 是 S−ωA，于是，我们还是使用之前雅可比方法中的例子，得到 SOR 方程组如下。

{2uk+1​=(2−2ω)uk​+ωvk​+4ω−ωuk+1​+2vk+1​=(2−2ω)vk​−2ω​

是不是看起来更复杂了？

没关系，其实它只是在我们眼中看起来复杂，对计算机来说是没区别的。对 SOR 来说，只是多了一个 ω，而 ω 选择越好就越快。具体 ω 的选择，以及迭代的过程就不赘述了，我给你一个小提示，你可以在“ω 大于 1”和“ω 小于 1”两种情况下来多选择几个 ω 进行尝试，最后你应该会得到结论：

  1. 在 ω 大于 1 时，ω 越大，迭代的次数就越多，收敛速度就越慢，ω 接近 1 时，迭代的次数越小，收敛速度越快。
  2. 在 ω 小于 1 时，ω 越小，迭代的次数就越多，收敛速度就越慢，ω 接近 1 时，迭代的次数越小，收敛速度越快。

所以，SOR 迭代法的关键就是 ω 的选择，它可以被看作是高斯 - 赛德尔法的扩充。

雅可比法、高斯 - 赛德尔法，以及 SOR 迭代法都是定常迭代法。接下来我讲一下和定常迭代法不同的另一类方法，也是实践中用的比较多的方法——共轭梯度法（Conjugate gradient），它属于 Krylov 子空间方法。简单来说，Krylov 子空间方法是一种“降维打击”手段，是一种牺牲精度换取速度的方法。

共轭梯度法

要讲共轭梯度法，我们要先解释一下“共轭”，共轭就是按一定的规律相配的一对，通俗点说就是孪生。“轭”是牛拉车用的木头，那什么是共轭关系呢？同时拉一辆车的两头牛，就是共轭关系。

我们根据这个定义再来解释一下共轭方向，向量 p,q∈R，若满足条件 pAq=0，则称 p 和 q 关于 A 是共轭方向，或者 p 和 q 关于 A 共轭。有了共轭和共轭方向的概念后，再来看共轭梯度法就简单多了。共轭梯度法的出现不仅是为了解决梯度下降法的收敛速度慢，而且也避免了牛顿法需要存储和计算黑塞矩阵（Hessian Matrix）并求逆的缺点。

现在来看看共轭梯度算法，设 Ax=b，其中 A 是一个实对称正定矩阵。

首先，我们设初始值 x0​ 为 0 或者一个估计值，来计算 r0​:=b−Ax0​。如果 r0​ 非常小，那 x0​ 就是结果，如果不是就继续。

接下来设 p0​:=r0​，k:=0。现在我们开始迭代循环。

a. 计算 αk​ 。

αk​:=pkT​Apk​rkT​rk​​

b. 计算 xk+1​ 。

xk+1​:=xk​+αk​pk​

c. 计算 rk+1​。

rk+1​:=rk​−αk​Apk​

d. 如果 rk+1​ 非常小，循环结束，如果不是就继续。

e. 计算 βk​ 。

βk​:=rkT​rk​rk+1T​rk+1​​

f. 计算 pk+1​ 。

pk+1​:=rk+1​+βk​pk​

g.k:=k+1。

  1. 返回结果 xk+1​。

从算法中我们可以看出，共轭梯度法的优点是存储量小和具有步收敛性。如果你熟悉 MATLAB，就会发现共轭梯度法的实现超级简单，只需要短短十几行代码（下方代码来自于 MATLAB/GNU Octave 的例子）。

function x = conjgrad(A, b, x)
r = b - A * x;
p = r;
rsold = r’ * r;

for i = 1:length(b)  
    Ap = A * p;  
    alpha = rsold / (p' * Ap);  
    x = x + alpha * p;  
    r = r - alpha * Ap;  
    rsnew = r' * r;  
    if sqrt(rsnew) < 1e-10  
          break;  
    end  
    p = r + (rsnew / rsold) * p;  
    rsold = rsnew;  
end

end

机器学习中的共轭梯度

共轭梯度法经常被用在训练神经网络中，在实践中已经证明，它是比梯度下降更有效的方法，因为就像刚才讲的，它不需要计算黑塞矩阵。那我现在就来讲一讲，使用共轭梯度法的神经网络训练过程。

在整个训练过程中，参数改进是重点，当然这也是所有神经网络训练的重点。这个过程是通过计算共轭梯度的训练方向，然后计算训练速率来实现的。在共轭梯度训练算法中，搜索是按共轭方向进行的，也就是说，训练方向是共轭的。所以，收敛速度比梯度下降要快。

现在我们来看训练方向的计算方法。首先，我们设置训练方向向量为 d，然后，定义一个初始参数向量 w0，以及一个初始训练方向向量 d0=−g0，于是，共轭梯度法构造出的训练方向可以表示成：di+1=gi+1+di⋅γi。

其中，g 是梯度向量，γ 是共轭参数。参数通过这个表达式来更新和优化。通常训练速率 η 可使用单变量函数优化方法求得。

wi+1=wi+di⋅ηi

本节小结

好了，到这里数值线性代数的迭代法这一讲就结束了，最后我再总结一下前面讲解的内容。

首先，我先解释了数值线性代数，接着再整体讲解了迭代方法。然后，举了一个线性方程组的例子，运用迭代法中的几个比较著名的实践方法：雅可比方法、高斯 - 赛德尔方法，以及逐次超松弛方法，来解这个线性方程组。最后，我把共轭梯度法用在了深度学习的神经网络训练中。

希望你能在了解了数值线性代数，以及迭代法后，更多地在计算机科学领域中，运用迭代法做矩阵运算。如果有兴趣，你也可以学习其它在实践中使用的迭代法。

线性代数练习场

练习时刻到了，这次继续使用第一篇线性方程组里的例子，你可以挑选任意一个迭代法来求解这个线性方程组。

假设，一个旅游团由孩子和大人组成，去程时他们一起坐大巴，每个孩子的票价 3 元，大人票价 3.2 元，总共花费 118.4 元。回程时一起做火车，每个孩子的票价 3.5 元，大人票价 3.6 元，总共花费 135.2 元。请问这个旅游团中有多少孩子和大人？

设小孩人数为 x1​，大人人数为 x2​，于是我们得到了一个方程组：

{3x1​+3.2x2​=118.43.5x1​+3.6x2​=135.2​

这个方程组的解是：

{x1​=16x2​=22​

你可以计算一下多少次迭代后它能收敛，也就是逼近真实解？以及它的错误 e 又分别是多少？

欢迎在留言区晒出的你的运算过程和结果。如果有收获，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友。